Dividir $(x+1)^2$ por $x-1$ sin utilizar la división larga.

Question

Dividir un polinomio de grado $n$ con un polinomio de grado $n-1$ da un polinomio de grado $1$ . Así que,

$$\frac{(x+1)^2}{x-1}=ax+b\Leftrightarrow x^2+2x+1=ax^2+(b-a)x-b$$

Da $a=1, \quad a-b=2, \quad -b=1$ . Así que $a=1$ y $b=-1.$ El resultado que obtengo es que $$\frac{(x+1)^2}{x-1}=x-1.$$ Lo cual dista mucho de ser la respuesta correcta. No puedo detectar mi error. Siento que cuanto más me siento y estudio, peor me vuelvo en matemáticas.

Answer 1

En este caso, le falta un término, que es el de resto. $$(x+1)^2 = Q(x) (x-1) + R(x)$$

Answer 2

Escriba $(x+1)^2 = (x-1)(ax+b)+c$ y enchufar $x=1$ , se obtiene $4=0+c$ así que $c=4$ . Ahora

$$ (x+1)^2-4 = x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$$ así que $a= 1$ y $b=3$ .

Answer 3

Según esta ecuación en su esfuerzo: $$x^2\color{red}{+2}x+1=ax^2\color{red}{+(b-a)}x-b$$

Por lo tanto, debe ser $\,b-a=2$ que no es compatible con $a=1 \, , \,b=-1$ .

Así que, $(x-1)$ no es un divisor/factor de $(x+1)^2$ . En su lugar, puede intentar añadir un resto, por ejemplo $\mathrm{c}$ y luego resolver de la siguiente manera: $$\frac{(x+1)^2-c}{x-1}=ax+b$$

Answer 4

$x-1$ no divide $(x+1)^2$ exactamente, por lo que también debe haber un término restante de grado inferior a $x-1$ es decir $$ \frac{(x+1)^2}{x-1} = ax+b + \frac{c}{x-1}. $$ Entonces encuentras $$ x^2+2x+1 = ax^2+(b-a)x+(c-b), $$ dando tres ecuaciones en tres incógnitas (se espera una solución única de todos modos, por lo que debería tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas).

Answer 5

$(x+1)^2$ no es divisible por $(x-1)$ y por tanto no se puede decir que el resultado sea un polinomio de grado uno. También se puede comprobar este hecho viendo que como se procede no se puede resolver $a=1 ~~b-a=2$ y $b=1$ por lo que no existe un polinomio de grado uno que satisfaga tu resultado (por lo que no es divisible por $(x-1)$ )