Al leer el artículo de Wikipedia sobre morfismos (bajo el apartado de monomorfismo dividido) me encontré con esta ecuación que describe la idempotencia:
$$ (f . g)^2 = g . (f . g) . f = f . g $$
¿Cómo se puede expandir esta definición a $(f . g . h)^2$?
La definición de idempotente es que un morfismo $h$ es idempotente si y solo si $h = h \cdot h$.
Nótese que esto solo puede ocurrir cuando $h$ es un endomorfismo: es decir, su dominio y contradominio son los mismos.
Para endomorfismos, escribimos $h^2$ como una forma abreviada para $h \cdot h$, por lo que la definición se puede escribir con la ecuación $h^2 = h$ en su lugar.
La fórmula que escribiste tiene un error tipográfico: el término intermedio debería ser $f \cdot (g \cdot f) \cdot g$.
Nótese que $(f \cdot g)^2 = f \cdot (g \cdot f) \cdot g$ no tiene nada que ver con los idempotentes; esto es solo la ley asociativa.
El punto de la cadena de ecuaciones a la que haces referencia no está tratando de definir nada; está demostrando:
Teorema: Si $g \cdot f$ es un morfismo de identidad, entonces $f \cdot g$ es idempotente
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Un idempotente es una flecha cuyo dominio coincide con su codominio y que es igual a su cuadrado.
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En particular, esa igualdad que citaste (¡que no es una fórmula sino una igualdad!) no "describe la idempotencia" en ningún sentido. Por lo general, es mejor proporcionar enlaces a donde encontraste las cosas...