¿Cómo se construye un conjunto producto cuyo complemento no es un conjunto producto?

Question

¿Cómo se construye un conjunto producto cuyo complemento no es un conjunto producto?

En esta pregunta, el conjunto producto es el conjunto arbitrario del producto cartesiano n-ario sobre n conjuntos X1, ..., Xn, es decir,

Answer 1

Esto no es estrictamente responder a la pregunta, pero algunas personas se han preguntado si es posible construir un conjunto de productos cuyo complemento es un conjunto de productos. Creo que esto es lo mejor que se puede hacer.

Dejemos que $A,B\subset X$ sean dos conjuntos cualesquiera.

Formar el conjunto $A\times (B\times X)\subset X\times X\times X$ . Este es un producto de conjuntos

Entonces es fácil demostrar que el complemento $$ (X\times X\times X)\setminus (A\times (B\times X)) = ((X\times X) \setminus (A\times B))\times X $$

que es un conjunto de productos.

Answer 2

Si consideramos sólo los biproductos: $$(A\times B)^c = A^c\times B\cup A\times B^c\cup A^c\times B^c,$$ así que a menos que uno de los conjuntos $A,A^c,B,B^c$ está vacío, el complemento del conjunto de productos en no un conjunto de productos.

Sin embargo, como demostró @Donkey_2009 en su respuesta, si permitimos los productos triples, podemos tener conjuntos producto no triviales cuyo complemento es también un conjunto producto.

Answer 3

A $\color{red}{\text{product set}}$ y $\color{blue}{\text{its complement}}$ :

$$\begin{array}{|cc|}\hline \color{blue}\bullet&\color{blue}\bullet\\ \color{red}{\bullet}&\color{blue}\bullet\\ \hline \end{array}$$