Todos los valores singulares no nulos de $A$ son iguales a $1$ si $A^*=A^*AA^*$ y $A=AA^*A$

Question

Quiero demostrar que todos los números s no nulos, es decir, los valores singulares $s_j(A):=(\lambda_j(A^*A))^{1/2}$ de A (un operador lineal acotado de rango finito que actúa sobre un espacio de Hilbert separable $H$ ) son iguales a 1 si y sólo si $A^*=A^*AA^*$ y $A=AA^*A$ .

$A$ es un operador de rango finito, por lo que es compacto. Entonces, puedo usar la siguiente proposición:

Si $A:H\rightarrow H$ es un operador compacto y $B,C:H\rightarrow H$ están acotados y son lineales, entonces $$ s_j(BAC)\le \|B\|\|C\|s_j(A). $$

Así,

$$ s_j(A^*)=s_j(A^*AA^*)\le \|A^*\|^2s_j(A). $$

$A$ es compacto, por lo tanto $A^*$ es compacto. Así que,

$$ s_j(A)=s_j(AA^*A)\le \|A\|^2s_j(A^*). $$

Aquí me atasco. No tengo ni idea de cómo probar esto. Se agradece cualquier pista.

Answer 1

Obsérvese que las dos igualdades $A=AA^*A$ y $A^*=A^*AA^*$ son iguales, ya que se puede obtener una a partir de la otra tomando las colindancias.

Supongamos primero que $A=AA^*A$ . Multiplicando por $A^*$ a la izquierda, obtenemos $$ A^*A=(A^*A)^2.$$ Se deduce que los valores propios de $A^*A$ todos satisfacen la ecuación $\lambda=\lambda^2$ , por lo que sólo $0$ y $1$ son posibles.

A la inversa, supongamos que todos los valores propios no nulos de $A^*A$ son iguales a $1$ . Porque $A^*A$ es autoadjunto, es diagonalizable, $A^*A=UDU^*$ avec $D$ diagonal con ceros y unos en la diagonal. Entonces $D^2=D$ y se deduce que $(A^*A)^2=A^*A$ . Podemos escribir esto como $$\tag{1}A^*(A-AA^*A)=0.$$ Ahora bien, como $\text{ran}\,(A)^\perp=\ker A^*$ la igualdad $(1)$ implica que $A-AA^*A=0$ (porque $A^*$ es inyectiva en $\text{ran}\,A$ ).