Creo que veo líneas misteriosas dentro de triángulos: ¿cómo demostrar su existencia?

Question

Últimamente he estado jugando con los puntos dentro de un triángulo y la suma de sus distancias a todos los lados.

Fue entonces cuando noté un comportamiento extraño: ¡Para cada punto que elegía siempre parecía haber una línea recta que pasaba por mi punto elegido y por todo el triángulo donde cada punto tenía la misma suma de distancias de todos los lados! Y por si fuera poco, si selecciono un punto diferente la línea que pasa por este punto parece paralela a todas las demás líneas creadas de la misma manera pero a través de otros puntos.

Entonces, ¿hay alguna manera de probar mi observación?

Pregunta: ¿Todos los puntos dentro de un triángulo que tienen la misma suma de distancias de todos los lados se encuentran en una línea y hay una manera de dar una ecuación matemática para dicha línea? (Sin tener en cuenta los triángulos equiláteros)

Como he utilizado medios numéricos para encontrar este patrón, no estoy seguro de que exista. Cualquier tipo de ayuda será apreciada.

Answer 1

Esto es fácil de demostrar si se sabe un poco sobre vectores y productos punto.

Para cualquier vector $\vec{a} \neq \vec{0}$ y cualquier número real $b$ el conjunto de puntos $\vec{x}$ que satisfacen $\vec{a} \cdot \vec{x} = b$ forma una línea perpendicular a $\vec{a}$ . Toda línea en el plano puede escribirse de esta manera. Además, la distancia entre un punto $\vec{y}$ y la línea $\vec{a} \cdot \vec{x} = b$ viene dada por $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{y} - b|}{\|\vec{a}\|}$ .

Llama a los lados del triángulo lado $1$ , lado $2$ y lateral $3$ . Para $i = 1,2,3$ , elija un vector unitario $\vec{a}_i \neq \vec{0}$ que es normal al lado $i$ y apunta hacia el interior, y un número $b_i$ tal que los puntos $\vec{x}$ en el lateral $i$ satisfacer $\vec{a}_i \cdot \vec{x} = b_i$

Entonces, la distancia entre un punto $\vec{x}$ y el lado $i$ viene dada por $|\vec{a}_i \cdot \vec{x}-b_i|$ . Si $\vec{x}$ está dentro del triángulo, entonces $\vec{a}_i \cdot \vec{x}-b_i > 0$ (ya que elegimos $\vec{a}_i$ para apuntar hacia adentro), y así, la distancia de $\vec{x}$ a un lado $i$ es simplemente $\vec{a}_i \cdot \vec{x}-b_i$ .

Así, la distancia total desde un punto $\vec{x}$ (dentro del triángulo) a los tres lados del triángulo es $(\vec{a}_1 \cdot \vec{x}-b_1) + (\vec{a}_2 \cdot \vec{x}-b_2) + (\vec{a}_3 \cdot \vec{x}-b_3)$ $= (\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3) \cdot \vec{x} - (b_1+b_2+b_3)$ .

Si dejamos que $C$ sea una constante cualquiera, entonces la suma de las distancias de un punto $\vec{x}$ dentro del triángulo a los lados será igual a $C$ proporcionado $(\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3) \cdot \vec{x} - (b_1+b_2+b_3) = C$ es decir $(\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3) \cdot \vec{x} = b_1+b_2+b_3+C$ .

Mientras $\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 \neq \vec{0}$ , entonces esta es una línea que es normal a $\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3$ . Además, no importa lo que elijamos la distancia total $C$ esta línea será normal para $\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3$ . Por lo tanto, todas las líneas formadas de esta manera son perpendiculares a un vector común, y por lo tanto, son paralelas.

Si no estás familiarizado con los vectores y los productos punto, puedes escribir $\vec{a}_1 = (a_{11},a_{12})$ , $\vec{a}_2 = (a_{21},a_{22})$ , $\vec{a}_3 = (a_{31},a_{32})$ , $\vec{x} = (x,y)$ y realizar los mismos cálculos. Seguirás teniendo la ecuación de una recta.

Answer 2

Si las aristas del triángulo se encuentran en las líneas $A_i x + B_i y + C = 0$ entonces la suma de las distancias al punto $P=(p,q)$ a estas líneas viene dada por

$$d = \pm_1\;\frac{A_1 p + B_1 q + C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}} \;\pm_2\;\frac{A_2p+B_2 q+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}} \;\pm_3\;\frac{A_3p + B_3 q + C_3}{\sqrt{A_3^2+B_3^2}} \qquad (\star)$$ donde cada " $\pm_i$ " es " $+$ " para todos los puntos de un lado de la $i$ -ésima línea, y " $-$ " para todos los puntos del otro lado.

Tenga en cuenta que todos los $P$ en el interior del triángulo se encuentran en un particular lado de cada línea de borde; cada $\pm_i$ se mantiene fijo. Por lo tanto, $(\star)$ representa un lineal ecuación para los puntos interiores con una distancia total determinada $d$ de los bordes del triángulo; es decir: Los puntos de solución se encuentran, efectivamente, en una línea. Enhorabuena por su perspicacia.

(Para cada una de las siete regiones del plano determinadas por los lados extendidos del triángulo, se obtiene dicha recta de suma constante de distancias).

Answer 3

Veamos el problema desde un ángulo ligeramente diferente. Si uno sabe sistema de coordenadas baricéntrico Será "obvio" por qué esto es cierto.

Dejemos que $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ sean tres puntos no colineales cualesquiera, forman los vértices de un triángulo no degenerado $\triangle ABC$ . Para cualquier punto $\vec{p} \in \mathbb{R}^2$ existe un único par de números reales $\alpha, \beta$ tal que

$$\vec{p}-\vec{C} = \alpha( \vec{A}-\vec{C}) + \beta( \vec{B} - \vec{C} ) \quad\iff\quad \vec{p} = \alpha \vec{A} + \beta \vec{B} + (1 - \alpha - \beta)\vec{C} $$ Dejemos que $\gamma = 1 - \alpha - \beta$ el triplete $(\alpha,\beta,\gamma)$ se denominan coordenadas baricéntricas para $\vec{p}$ . Además, los puntos $\vec{p}$ se encuentra dentro o sobre $\triangle ABC$ si y sólo si $\alpha, \beta, \gamma \ge 0$

Dejemos que $h_A, h_B, h_C$ sea la altura de $\triangle ABC$ para los vértices correspondientes. La distancia entre $\vec{p}$ y los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ son $h_A |\alpha|$ , $h_B |\beta|$ y $h_C|\gamma|$ respectivamente. Los loucs para un punto cuya suma de distancias a los 3 lados es igual a $d$ viene dada entonces por:

$$h_A |\alpha| + h_B|\beta| + h_C|\gamma| = d$$

Por puntos en el interior $\triangle ABC$ el problema de encontrar el locus es equivalente a resolver el siguiente par de ecuaciones lineales:

$$\begin{array}{rrrl} \alpha +& \beta +& \gamma &= 1\\ h_A \alpha +& h_B \beta +& h_C \gamma &= d \end{array} $$ Cuando $\triangle ABC$ no es equilátero, este par de ecuaciones tiene un rango 2 que tiene cero o infinitas soluciones. Además, si $(\alpha, \beta, \gamma)$ es una solución, otra solución tendrá la forma

$$(\alpha',\beta',\gamma') = (\alpha,\beta,\gamma) + \lambda (h_B-h_C,h_C-h_A,h_A-h_B)\quad\text{ for some } \lambda \in \mathbb{R}$$

Traduzca esto en puntos sobre $\mathbb{R}^2$ . Esta media es $\vec{p}$ es un punto dentro de $\triangle ABC$ el lugar del punto $\vec{p}'$ tienen la misma suma de distancias tiene la forma:

$$\vec{p}' = \vec{p} + \lambda\vec{u}, \quad\text{ for some }\;\lambda \in \mathbb{R}$$ es decir, el lugar geométrico es una línea a lo largo de la dirección $\displaystyle\;\vec{u} = (h_B-h_C)\vec{A} + (h_C-h_A)\vec{B} + (h_A-h_B)\vec{C}$ .

Tenga en cuenta que este $\vec{u}$ es independiente de la elección de $d$ y por lo tanto $\vec{p}$ . Lo que esto significa es que para todos los puntos dentro de $\triangle ABC$ no sólo los lugares de las mismas distancias son todas las líneas, ¡todas esas líneas son paralelas entre sí!

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Aclaraciones

Sobre la pregunta de por qué multiplicar $\alpha$ con altura $h_A$ nos da la distancia a la línea $BC$ . Para cualquier punto $p$ , dejemos que $d_p$ sea la distancia de $p$ a la línea $BC$ . Por definición, tenemos $$\vec{p} - \vec{C} = \alpha(\vec{A}-\vec{C}) + \beta(\vec{B}-\vec{C}).$$ Para cualquier $\alpha$ , dejemos que $\vec{p}_0 = \vec{C} + \alpha(\vec{A}-\vec{C})$ . Para cualquier punto $p$ con el mismo $\alpha$ tenemos $$\vec{p} - \vec{p_0} = \beta (\vec{B} - \vec{C})$$ Cuando se ve desde $p_0$ , $p$ es a lo largo de la dirección $\vec{B}-\vec{C}$ . Esto significa que el lugar de $p$ por el hecho de ser fijo $\alpha$ es una línea paralela al lado $BC$ . Como resultado, $d_p$ es constante sobre dicha línea y $d_p$ depende sólo de $\alpha$ . Mientras $p$ no cruza la línea $BC$ Es evidente que esta dependencia de $\alpha$ es lineal. Fíjate en

• Cuando $\alpha = 0$ la línea de la constante $\alpha$ coincide con la línea $BC$ Así que $d_p = 0$ allí.
• Cuando $\alpha = 1$ la línea de la constante $\alpha$ cruza $A$ Así que $d_p = h_A$ allí.

Combinando estos, encontramos que la constante proporcional es $h_A$ cuando $\alpha \ge 0$ . Esto significa que mientras $p$ está en el mismo lado que $A$ con respecto a la línea $BC$ , $d_p = h_A \alpha = h_A |\alpha|$ . Por simetría, $d_p = h_A |\alpha|$ en el otro lado también.

Answer 4

Sean las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo $A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2),\ C(x_3,y_3)$ .
Sean las ecuaciones de la línea de $AB, BC, CA$ sea $A_3x+B_3y+C_3=0,\ A_2x+B_2y+C_2=0,\ A_1x+B_1y+C_1=0$ respectivamente.
Sabemos que la distancia de la línea $Ax+By+C=0$ a un punto $(x,y)$ es $$\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\hbox{.} $$ Dentro del triángulo, los signos de $A_ix+B_iy+C$ no cambian (wlog suponemos que estos tres $\ge 0$ ), por lo que la suma de las distancias es $$\sum\limits_{k=1}^3 \frac{A_kx+B_ky+C}{\sqrt{A_k^2+B_k^2}}$$ y debe ser igual a $d$ : $$\sum\limits_{k=1}^3 \frac{A_kx+B_ky+C}{\sqrt{A_k^2+B_k^2}}=d\iff$$ $$x\sum\limits_{k=1}^3 \frac{A_k}{\sqrt{A_k^2+B_k^2}}+ y\sum\limits_{k=1}^3 \frac{B_k}{\sqrt{A_k^2+B_k^2}}+ \sum\limits_{k=1}^3 \frac{C}{\sqrt{A_k^2+B_k^2}}-d=0\hbox{,}$$ que seguramente es una línea.