Independencia de $z$ y $z^*$ en estados coherentes

Question

En el libro de Lowell Brown sobre QFT se menciona que

$$\int_{\mathbb{R}^2} \frac{dq'dp'}{2\pi} e^{(-z^{*}z + z^{*}_1z + z^{*}z_2)} = e^{z^{*}_1z_2}\tag{1.8.12}$$

donde $$z=\frac{q'+ip'}{\sqrt{2}} \qquad \tag{1.8.1}$$ es el valor propio de un estado coherente.

En el siguiente párrafo, se menciona que

la función de transformación $\langle z^{*}|z\rangle$ y el peso de integración $e^{-z^{*}z}$ pueden, obviamente, extenderse a funciones analíticas en las variables separadas y distintas $z^{*}$ y $z$ .

En vista de esta analiticidad extendida, uno puede, en general, hacer independiente traducciones: $$z \rightarrow z+a \text{ and } z^{*} \rightarrow z^{*}+b^{*}\tag{1.8.13}$$ donde $a$ y $b^{*}$ son números complejos arbitrarios.

¿Cómo es posible? ¿No será siempre cierto que $a = b$ si utilizamos dicha transformación?

Answer 1

TL;DR: La ecuación (1.8.13) de la Ref. 1 es exactamente correcta: Notablemente dentro de una integral, uno puede desplazar efectivamente la variable de integración $z=x+iy$ y su variable compleja conjugada $\bar{z}=x-iy$ por dos independiente ¡números complejos!

Matemáticamente, la ec. (1.8.13) es esencialmente la afirmación de que para un polinomio arbitrario $P:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}$ la integral $$\int_{\mathbb{C}} \!\frac{\mathrm{d}\bar{z} \wedge \mathrm{d}z}{2 \pi i}~P(z\!+\!c,\bar{z}\!+\!d)e^{-(z+c)(\bar{z}+d)}\quad\text{does not depend on}\quad c,d~\in~\mathbb{C}. \tag{1}$$ Para la definición de la integración (1) en el plano complejo, véase, por ejemplo este & este posts relacionados con Phys.SE. La ecuación (1) es equivalente a $$\int_{\mathbb{R}^2} \!\frac{\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y}{\pi }~P(x\!+\!a,y\!+\!b)e^{-(x+a)^2-(y+b)^2}\quad\text{does not depend on}\quad a,b~\in~\mathbb{C}. \tag{2}$$ Aquí la relación entre las 4 constantes complejas son $$ c~=~a+ib, \qquad d~=~a-ib .\tag{3}$$ Debido a la linealidad, basta con demostrar la ec. (2) para polinomios que se factorizan, es decir, polinomios de la forma $P(x\!+\!a)Q(y\!+\!b)$ . Entonces la ec. (2) se reduce a mostrar que $$\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}x ~P(x\!+\!a)e^{-(x+a)^2}~=~\int_{\mathbb{R}+i{\rm Im}(a)} \!\mathrm{d}x ~P(x)e^{-x^2}\quad\text{does not depend on}\quad a~\in~\mathbb{C}. \tag{4}$$ La ecuación (4) se deduce por una simple aplicación de Teorema de la integral de Cauchy . $\Box$

Para más información sobre los estados coherentes, la conjugación compleja y la independencia de las variables, véase también, por ejemplo este & este posts relacionados de Phys.SE.

Referencias:

1. L.S. Brown, QFT, 1992; ecuaciones (1.8.12)-(1.8.13).