Resolver el siguiente sistema de ecuaciones para $x, y$ y $z$

Question

$$\frac{y+z}{5}=\frac{z+x}{8}=\frac{x+y}{9}$$ y $$6(x+y+z)=11$$

Mi profesor me dijo que tendría que conseguir $3$ diferentes ecuaciones para obtener $x, y$ y $z$ . He probado muchos métodos y estoy confundido en cuanto a cómo hacer este problema.

Answer 1

Suponer que $$\frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{8} = \frac{x+y}{9} = k$$ donde k es un número real
ahora puedes escribir tres ecuaciones multiplicando en cruz cada denominador por k,
que produce.

(1) y + z = 5k
(2) z + x = 8k
(3) x + y = 9k

si se suman estas tres ecuaciones se obtiene

2(x + y + z) = 22k
es decir, (a) x + y + z = 11k

pero ya tienes una ecuación que dice
6(x + y + z) = 11
es decir (b) x + y + z = 11/6

por lo que considerando (a) y (b) se puede decir que k = 1/6

ahora tenemos que encontrar los valores de x, y y z.

(1) - (2) implica
(4) y - x = -3k

(4) + (3) implica
2y = 6k
es decir y = 3k = 3 x 1/6 = 1/2
por lo que y = 1/2

(3) implica
x + y = 9k = 9 x 1/6 = 3/2
pero y = 1/2
por lo que x = 1

(2) implica
x + z = 8k = 8 x 1/6 = 4/3
pero x = 1
por lo que z = 1/3

Answer 2

Sugerencia

$$\frac{y+z}{5} =\frac{z+x}{8} = \frac{x+y}{9}$$ es lo mismo que

$\color{red}{\large{\frac{y+z}{5} =\frac{z+x}{8}}}$ y $\color{red}{\large{\frac{z+x}{8} = \frac{x+y}{9}}}$

Que también es lo mismo que $\color{blue}{\large{\frac{y+z}{5} = \frac{x+y}{9}}}$ y $\color{blue}{\large{\frac{z+x}{8} = \frac{y+z}{5}}}$

Y así puedes dividirlo en dos ecuaciones.

$\color{blue}{\large{\frac{z+x}{8} = \frac{y+z}{5}} \implies 5(z+x)=8(y+z)} \implies 5z + 5x =8y + 8z \implies 5x -8y -3z = 0$

y $\color{blue}{\large{\frac{y+z}{5} = \frac{x+y}{9}}} \implies 9(y+z) = 5(x+y) \implies 9y + 9z = 5x + 5y \implies 5x + 9z + 4y = 0$

y tienes la 3ª ecuación que es $6(x+y+z) = 11 \implies x + y + z = \frac{11}{6}$ .

Ahora puedes resolver este sistema de ecuaciones

$$5x -8y -3z = 0, 5x + 9z + 4y= 0, x + y + z = \frac{11}{6}$$

Ahora puede utilizar este enlace kit de herramientas de álgebra lineal para comprobar su trabajo