Diferencia física entre simetrías gauge y simetrías globales

Question

Hay un montón de preguntas bien contestadas en Physics SE sobre las diferencias matemáticas entre las simetrías gauge y las simetrías globales, tales como esta pregunta . Sin embargo, me gustaría entender las diferencias clave entre las transformaciones en términos de lo que significan físicamente .

Digamos que tenemos el Lagrangiano para un campo escalar que interactúa con el campo electromagnético,

\begin{equation} L = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + (D_{\mu} \phi)^*D_{\mu}\phi - m^2|\phi|^2, \end{equation}

donde $D^{\mu} = \partial^{\mu} + ieA^{\mu}$ . Esto es invariable tanto bajo una simetría gauge $A^{\mu} \rightarrow A^{\mu} + \partial^{\mu} \chi$ con $\phi \rightarrow e^{i\chi(x)} \phi$ y un simetría global $\phi \rightarrow e^{i\chi} \phi$ .

Soy consciente de que al exigir la simetría gauge hemos introducido términos de interacción que acoplan los campos de bosones escalares y vectoriales, mientras que el simetría global nos da la conservación del número de partículas por el teorema de Noether.

Pero ahora, ¿qué significan físicamente los cambios de fase locales y globales? ¿O sus significados físicos se definen puramente por la introducción de los acoplamientos de campo y de la conservación de las partículas, respectivamente?

Answer 1

La primera respuesta a esta pregunta debe ser siempre: Una simetría gauge no tiene ningún significado "físico", es un artefacto de nuestra elección para las coordenadas/campos con los que describimos el sistema (cf. ¿La simetría gauge no es una simetría? , ¿Cuál es la importancia de que el potencial vectorial no sea único? , "Cuantización de sistemas gauge" de Henneaux y Teitelboim). Cualquier simetría gauge del lagrangiano es equivalente a una restricción en el formalismo hamiltoniano, es decir, una relación no trivial entre las coordenadas y sus momentos canónicos.

En principio, se puede eliminar cualquier simetría gauge pasando al espacio de fase reducido que tiene menos grados de libertad canónicos. La simetría gauge tiene sin significado físico en el sentido de que puede deshacerse de ella pasando a una (clásicamente) descripción equivalente del sistema. Una transformación gauge tiene sin significado físico porque todos los estados relacionados por una transformación gauge son físicamente el mismo estado . Formalmente, tienes que cotejar la simetría gauge de tu espacio de estados para obtener el espacio real de estados.

En cambio, un simetría global es una "verdadera" simetría del sistema. No reduce los grados de libertad del sistema, sino que "sólo" corresponde a los cuantitativos conservados (ya sea mediante el teorema de Noether en la formulación lagrangiana o mediante una ecuación de evolución casi trivial en el formalismo hamiltoniano). Es física en el sentido de que los estados relacionados por ella pueden considerarse "equivalentes", pero no son los mismos.

Curiosamente, para la QED escalar, la simetría global da una "corriente de Noether" bastante inconveniente, que depende del campo gauge (cf. esta respuesta ¡)! Así que la afirmación de que el "teorema de Noether" nos da la conservación del número de carga/partícula es no ingenuamente cierto en el caso escalar (pero es en el caso de Dirac). La obtención de la conservación de la carga a partir de la simetría gauge también se discute en EM clásica: vínculo claro entre la simetría gauge y la conservación de la carga .

Se preguntará entonces por qué utilizar una descripción tan "estúpida" en primer lugar. La respuesta es que, en la práctica, deshacerse de los grados de libertad superfluos es más problemático de lo que vale. Podría romper la invariancia manifiesta bajo otras simetrías (sobre todo la invariancia de Lorentz), y puede haber obstáculos (por ejemplo Obstrucciones de Gribov ) para fijar sistemáticamente un calibre. La cuantificación de las teorías gauge se entiende mucho mejor en el formalismo BRST, en el que la simetría gauge se preserva y se implementa en la teoría cuántica, que en el formalismo de Dirac, que requiere ser capaz de resolver realmente las restricciones en el formalismo hamiltoniano.

Así que el diferencia clave entre una simetría gauge y una global es que una es en nuestro descripción teórica mientras que el otro es un propiedad del sistema . Ningún tipo de maniobra hará que una carga puntual sea menos simétrica en sentido esférico (simetría de rotación global). Pero, por ejemplo, la simetría gauge electromagnética simplemente desaparece si consideramos los campos eléctricos y magnéticos en lugar del cuatro potencial. Sin embargo, en ese caso perder la capacidad de escribir la formulación lagrangiana covariante del electromagnetismo - la corriente $J^\mu$ debe se acopla a algún otro cuatro vector, y ese cuatro vector es simplemente el potencial $A^\mu$ .

Hay otro aspecto crucial de las simetrías gauge: Cada bosón vectorial sin masa necesariamente está asociada a una simetría gauge (para una prueba, véase la obra de Weinberg "Teoría cuántica de los campos" ). No hay otra forma en una teoría de campos cuánticos consistente: Si quieres bosones vectoriales sin masa, como los fotones, obtienes una simetría gauge. No importa lo "antifísica" que sea esta simetría, en el marco covariante de la teoría cuántica de campos simplemente no tenemos otra opción que expresar el contenido de tales partículas en términos de un campo gauge. Esto podría verse como el verdadero significado "físico" de las simetrías gauge desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos. Yendo un paso más allá, es el rotura espontánea de tales simetrías que crea bosones vectoriales masivos. Una teoría de bosones vectoriales es casi inevitablemente una teoría de simetrías gauge.

Como apunte: En principio, se podría intentar convertir cualquier simetría global no anómala en una simetría gauge (cf. ¿Cuándo se puede calibrar una simetría global? ). La cuestión es si al calibrarlo se produce algún nuevo físico estados, y si estos estados se ajustan a las observaciones.

Answer 2

Esta es una pregunta muy amplia, por lo que hay muchas maneras de responderla. He aquí una interpretación.

Una distinción principal entre las simetrías gauge y las simetrías globales es que las simetrías gauge conducen a interacciones de largo alcance entre las partículas cargadas; la simetría gauge exige la existencia de un campo sin masa que puede propagarse a distancias arbitrariamente largas (en una fase de ausencia de ranura).

La distinción se caracteriza mejor por la regla de superselección asociada a la simetría gauge. Recordemos que una teoría cuántica de campos con espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ se dice que obedece a una regla de superselección si el espacio de Hilbert puede escribirse como una suma $$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n,$$ tal que para cualquier operador local $\mathcal{O}(x)$ , $$\langle n|\mathcal{O}(x)|m\rangle = 0$$ para $n\neq m$ , donde $|n\rangle$ y $|m\rangle$ son estados arbitrarios en $\mathcal{H}_n$ y $\mathcal{H}_m$ . El $\mathcal{H}_n$ se denominan sectores de superselección. Físicamente, las reglas de superselección aparecen en teorías gauge siempre que existan estados con influencia de largo alcance que no pueden ser aniquilados por operadores locales. Clasifican el "pelo" de largo alcance asociado a los estados físicos.

En el contexto del ejemplo de QED escalar que has mencionado, el espacio de Hilbert se divide en sectores de superselección etiquetados por la carga $Q$ asociado a transformaciones gauge U(1) constantes. Los operadores locales invariantes del gauge siempre tienen carga cero y no pueden cambiar la carga de un estado. Físicamente, una partícula cargada da lugar a un campo eléctrico de largo alcance, que no puede ser destruido (o creado) por ningún operador local en un volumen espacial infinito. Esta es la característica esencial de las teorías gauge que he descrito anteriormente.

Si se desactiva el acoplamiento gauge, la correspondiente simetría global U(1) no conduce a esta regla de superselección. El espacio de Hilbert sigue estando graduado por el número de carga, pero los operadores locales pueden cargarse bajo la simetría. No hay "pelo de largo alcance" asociado a una simetría global.

A riesgo de ser demasiado detallista, debo señalar una sutileza: la discusión anterior suponía que la teoría gauge estaba en una fase sin huecos. (Para el ejemplo de la QED escalar, esto se llama la "fase de Coulomb"). Otras fases pueden romper la regla de superselección. Por ejemplo, si deformamos la teoría de forma que $\phi$ adquiere un vev (en el gauge unitario), la teoría se encuentra entonces en una fase de vacío (la "fase de Higgs"), y la regla de superselección se rompe. Físicamente, las partículas cargadas están rodeadas por un condensado de carga que apantalla el campo eléctrico de largo alcance. Los estados ya no tienen pelo de largo alcance, y no hay regla de superselección. Por otro lado, las teorías gauge no abelianas suelen encontrarse en la "fase de confinamiento", que es otro tipo de fase de vacío en la que los efectos no perturbadores obligan a todos los estados a llevar carga cero. La regla de superselección se rompe y no hay interacciones de largo alcance.

Para un buen debate en este sentido, véase la sección 2 de este documento .