Número de pares antipodales de $n$ -puntos de la esfera mapeados a puntos discretos en $\mathbb{R}^n$

Question

Estoy pensando en el teorema de Borsuk-Ulam, que establece que

Si $f\colon\mathbb{S}^n\to\mathbb{R}^n$ es continua, entonces existe un $x$ tal que $f(x)=f(-x)$ .

Esto significa que si $f$ es continua, entonces al menos un par de puntos antípodas de la $n$ -se asignan al mismo punto en $\mathbb{R}^n$ .

Ahora, me pregunto si un mapa continuo $f$ puede ser construido por lo que un número fijo de pares antipodales son mapas al mismo número fijo de puntos en $\mathbb{R}^n$ .

Answer 1

Tome las coordenadas polares, con la latitud denotada por $\phi$ y la longitud por $\theta$ para que $$ S(\phi, \theta) = \pmatrix{ \cos \phi \cos \theta \\ \cos \phi \sin \theta \\ \sin \phi} $$ y $\phi$ oscila entre $-\pi/2$ a $\pi/2$ y hacer todo $\bmod 2\pi$ . Considere el mapa $C$ de la esfera unitaria al plano dado por $(x, y, z) \mapsto (x, z)$ . Esto preserva las latitudes (es decir, dos puntos con la misma latitud terminan con la misma segunda coordenada), por lo que los únicos pares antipodales posibles están en el ecuador $\phi = 0$ . Los pares antípodas, en coordenadas polares, son $p_\theta = (0, \theta)$ y $p'_\theta= (0, \theta + \pi)$ . El $x$ -Las coordenadas de estos puntos son $\cos \theta$ y $\cos (\theta + \pi) = -\cos \theta$ . Para que sean iguales cuando se proyecten, es decir, para que $$ C(S(p_\theta)) = C(S(p'_\theta)) $$ por lo tanto, requiere que $\cos\theta = 0$ . Así que el mapa particular $C$ de $\Bbb S^2$ a $\Bbb R^2$ tiene exactamente un par antipodal que está mapeado en un solo punto; llamémoslo "par bueno".

Ahora considere el mapa $M_2$ (para "multiplicar por dos") de $\Bbb S^2 \to \Bbb S^2$ definido por $(\phi, \theta) \mapsto (\phi, 2\theta)$ en coordenadas polares. Definamos $$ C_2: \Bbb S^2 \to \Bbb R^2 : (\phi, \theta) \mapsto C(S(M_2(\phi, \theta))). $$

Para un punto $X = (\phi, \theta)$ para ser un elemento de un buen par para $C_2$ requiere que $S(M_2(X))$ sea un elemento de un par bueno para $C$ para que $M_2(X)$ debe tener $\phi = 0$ y $\theta = 0, \pi$ Así que $\theta$ debe ser $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ . Así que $C_2$ tiene exactamente dos buenas parejas.

Si definió $M_k (\phi, \theta) = (\phi, k\theta)$ puede definir $C_k$ de forma análoga y se consigue exactamente $k$ buenas parejas, por lo que su pregunta, para $n = 2$ se responde afirmativamente.

El infierno. Ahora me doy cuenta de que debería haber hecho esto para $\Bbb S^1$ primero, porque así podría observar que el mapa $C$ es sólo la suspensión del mapa $c: \Bbb S^1 \to \Bbb S^1:(x, y) \mapsto $ x$.

Pero eso nos lleva a la siguiente observación, que es que por la suspensión de $C$ se obtiene un mapa similar de $\Bbb S^3$ a $\Bbb R^3$ y así sucesivamente. Así que la respuesta es afirmativa en todas las dimensiones.

N.B.: Porque $M_k$ produce un mapa con $k$ buenos pares, podrías pensar "Bueno, tal vez si miro $M_0$ , voy a conseguir cero pares buenos antipodales, y tendré una contradicción con Borsuk-Ulam". Por desgracia, ese no es el caso. Cuando se intenta $M = 0$ Resulta que todo Los pares ecuatoriales están mapeados en el origen, por lo que se tiene infinitamente muchas parejas buenas en lugar de cero.