Independencia lineal en el cierre algebraico de $\mathbb{C}(z)$

Question

Arreglar $N>0$ . Sea $b_i=(b_{i,1}, b_{i,2}, b_{i,3}, b_{i,4})$ , $i=1,\ldots, m$ , sean 4 parejas distintas de números enteros con con todos $0\leq b_{i,j}< N$ . (La tupla cero no está permitida).

Definir $w_i=(\prod_{j=1}^4 (z-z_j)^{b_{i,j}})^{\frac1{N}}$ .

Considere $w_i$ como un elemento del siguiente espacio vectorial: el cierre algebraico de $\mathbb{C}(z)$ sobre el campo $\mathbb{C}(z)$ .

Creo que la serie de Puiseux se puede utilizar para mostrar la independencia lineal del $w_i$ . ¿Existen otros enfoques que puedan demostrar la independencia lineal de los $w_i$ ?

En términos más generales, ¿existen otras técnicas generales para demostrar la independencia lineal de las funciones en el espacio vectorial dado?

Answer 1

También se puede utilizar la teoría de Galois o la monodromía. Tome una relación de dependencia lineal mínima y aplique el automorfismo del cierre algebraico que fija $(z-z_j)^{1/N},j>1$ y fot $j=1$ multiplica la función por una raíz N-ésima de la unidad, obteniendo así una nueva relación y se puede producir una relación más corta a partir de esas dos.