Denso en un orden total y en una topología de orden

Question

Estoy tratando de conectar la definición de denso en un conjunto total ordenado

Def. 1 Dado el pedido total $(X,\le)$ , un conjunto $S\subseteq X$ es denso en $X$ si para cualquier $x,x'\in S$ tal que $x<x'$ , hay $y\in S$ tal que $x<y<x'$ .

con la definición de denso-en-sí-mismo en una topología de orden (inducida por el mismo orden total)

Def. 2 Dada la topología de orden $(X,\tau)$ con el pedido total $\le$ , un conjunto $S\subseteq X$ sin puntos aislados se llama denso-en-sí-mismo.

La comparación se extrae de la respuesta: denso en términos de orden y en términos de topología de orden y se formula como

Lema 1. Dado un conjunto totalmente ordenado $(X,\le)$ entonces $S\subseteq X$ en la topología de orden inducido es densa en sí misma según la definición 2 si y sólo si $S$ es denso según la definición 1.

Prueba. Si $S$ es denso en sí mismo, entonces no tiene puntos aislados y sólo consta de puntos límite. Dados dos $x,x'\in S$ tal que $x<x'$ entonces $(x,x')$ no está vacío porque (*)

Por otro lado, si $S$ es denso según la definición de orden total, supongamos que $S$ tiene un punto aislado, es decir, existe un conjunto abierto que contiene sólo $x$ lo que contradice el lema ??? (la topología de orden consiste en uniones de intervalos abiertos y rayos).

¿Es cierto el lema? ¿Cómo procedo a la demostración en el punto (*)? Intuitivamente está claro: Para tener un agujero con $x$ y $x'$ en sus extremos y $x,y\in S$ entonces $S$ no puede estar abierto. ¿Debo añadir la condición de que $S\in\tau$ para que el lema sea válido? A partir de la respuesta en la citada pregunta parece ser el caso, pero necesito de todos modos entender cómo demostrarlo porque el argumento "Dado que X es denso en términos de topología, hay un x en (a,b)" no es suficiente para mí entender.

El punto de partida del razonamiento fue conectar la definición de denso según un orden total y esta tercera definición:

Def. 3 Dado un espacio topológico $(X,\tau)$ , subconjunto $S\subseteq X$ se dice que denso si $\bar{S}=X$ . Generalmente, dado un subconjunto $D\subseteq S$ , $D$ se dice que es denso en $S$ si $S\subseteq \bar{D}$ .

Si tomo literalmente "denso-en-sí" y lo aplico a Def. 3 obtendría el siguiente lema

Lema 2

$S\subseteq X$ , $S$ es denso en sí mismo si y sólo si $S\subseteq\bar{S}$ .

lo cual es erróneo ya que la h.r. es siempre verdadera. No puede ser que todos los conjuntos abiertos (restrinjámoslos) sean densos en la topología de orden?

¿Cómo están conectadas las Definiciones 2 y 3?

Answer 1

Sin más suposiciones, ninguna de estas tres definiciones implica ninguna de las otras dos, incluso cuando se consideran sólo subconjuntos de $\mathbb{R}$ .

Tienes toda la razón en que "denso-en-sí" cuando se interpreta en el sentido de la definición $3$ es trivial: todo espacio topológico es cerrado en sí mismo, por lo que todo conjunto es denso en su subespacio topológico. Como hay subconjuntos de $\mathbb{R}$ que no satisfacen las definiciones $1$ y $2$ , $3$ no implica $1$ o $2$ o viceversa.

Se pueden utilizar ejemplos concretos para demostrar que ni $1$ o $2$ también se implican entre sí. Comenzamos mostrando que $1$ no implica $2$ . Para ver esto, considere el conjunto único $\{0\}$ como un subespacio de $\mathbb{R}$ . Este conjunto tiene un punto aislado, pero es trivialmente denso en sí mismo en el sentido de la definición $1$ . Este conjunto también demuestra que la conectividad no es suficiente para garantizar que $1$ implica $2$ .

Para ver que $2$ no implica $1$ , toma $X = [0,1] \cup [2,3]$ como un subespacio de $\mathbb{R}$ . Aquí, $X$ está totalmente ordenado por el orden estándar en $\mathbb{R}$ y no tiene puntos aislados, por lo que satisface la definición $2$ . Sin embargo, $1 < 2$ pero no hay puntos entre $1$ y $2$ . Así, $X$ no satisface la definición $1$ . Definición $1$ puede fallar de forma bastante dramática cuando la definición $2$ se satisface, de hecho: el Conjunto Cantor ofrece un ejemplo de un subconjunto de $[0,1]$ sin puntos aislados pero con infinitos puntos $x, y$ con $x < y$ y ningún punto intermedio.

Answer 2

Definición: dos puntos $x < x^+$ en un espacio linealmente ordenado $(X,<)$ formar un saltar cuando $(x,x^+) =\emptyset$ es decir, no hay $z \in X$ con $x < z < x^+$ .

En un espacio lineal $(X,<)$ si $S$ es de orden denso (def. 1) entonces $S$ es topológicamente denso ( $\overline{S} =X$ en la topología del orden $\mathcal{T}_{<}$ ), y lo contrario ocurre cuando $(X,<)$ no tiene saltos.

Prueba: Si $S$ es de orden denso, dejemos que $U$ sea un conjunto abierto básico de $(X,\mathcal{T}_{<})$ Esto significa que $U = [a,b)$ donde $a = \min(X)$ (si existe) y $b \in X$ o $U = (a,b)$ donde $a < b, a,b \in X$ o $U = (a,b]$ donde $b=\max(X)$ (si existe) y $a \in X$ . $S$ ser de orden denso implica que hay algún $z \in X$ con $a < z < b$ y en todos los casos esto demuestra que $U \cap S \neq \emptyset$ para que $S$ es topológicamente denso en $(X,\mathcal{T}_{<})$ .

Si $X$ no tiene saltos y $S$ es topológicamente denso en $(X, \mathcal{T}_{<})$ y $a < b, a,b \in X$ entonces sabemos que $U = (a,b)$ es no vacío y abierto en $\mathcal{T}_{<}$ para que $S \cap U \neq \emptyset$ que dice que $S$ es de orden denso.

Un espacio como $X = [0,1] \cup [2,3]$ en el orden heredado es denso en sí mismo en la topología del orden pero $S:= X \cap \mathbb{Q}$ es denso topológicamente, pero no es denso de orden ya que ningún punto de $S$ se encuentra entre $1$ y $2$ .

Lo mismo ocurre con $\mathbb{Q} \times \{0,1\}$ en el espacio de la doble flecha $[0,1]\times \{0,1\}$ (en el orden lexicográfico, y su topología inducida), o los extremos del conjunto de Cantor $C$ (como el subconjunto habitual de $[0,1]$ ), que es densamente contable (topológicamente) pero no en el sentido de orden, $C$ con un número infinito de saltos.