utilizar el teorema de plancherel para demostrar una desigualdad integral

Question

Sea f una función sobre la recta real R tal que tanto f como xf están en L^2(R). Demostrar que f L^1(R).

Lo siento, no sé cómo usar Latex para publicar el problema. El problema original está aquí: http://www.math.purdue.edu/~bell/MA598R/advanced1.pdf . Es el problema 18. Es uno de los problemas creados por un profesor para ayudar a los estudiantes a preparar los exámenes de calificación del análisis real.

Creo que el objetivo de la pregunta es pedir a los alumnos que apliquen el Teorema de Plancherel, pero no sé por dónde empezar. Conozco todas las propiedades de las transformadas de Fourier, pero no pude relacionarlas aquí. Creo que el truco del problema es dividir f en dos partes, pero no he podido averiguar cómo hacerlo. Además, la forma de la desigualdad es algo similar a la del principio de incertidumbre, pero no pude obtener ninguna pista de la prueba del principio de incertidumbre porque la hipótesis es diferente aquí.

Creo que la pregunta no es difícil, a menos que uno sepa por dónde empezar. Lo he intentado con todas mis fuerzas y sigo a ciegas. ¿Alguien podría decirme cómo hacerlo? Cualquier pista se agradecería.

Answer 1

Set $a:=\Vert f\Vert_{L^2}$ y $b:=\Vert xf\Vert_{L^2}$ .

Para cualquier $\varepsilon >0$ se puede escribir, usando Cauchy-Schwarz: \begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} \vert f\vert&=&\int_{\{\vert x\vert\leq\varepsilon\}}\vert f\vert +\int_{\{\vert x\vert<\varepsilon\}}\vert f\vert\\ &\leq& \sqrt{2\varepsilon}\, a+b\times \left(\int_{\{\vert x\vert>\varepsilon\}} \frac{dx}{x^2}\right)^{1/2}\\&=&\sqrt{2\varepsilon}\, a+\sqrt{\frac2\varepsilon}\, b\, . \end{eqnarray}

Elección de $\varepsilon:=\frac{b}a$ Esto da como resultado $$\int_{\mathbb R} \vert f\vert\leq 2\sqrt {2ab}\, . $$

Así que $f$ está en $L^1$ con la estimación requerida.