Ejemplo de un exterior automorphism que los mapas de todos los elementos que conjugados.

Question

Al responder a esta pregunta, mi mente vagó un poco, y me pregunto acerca de la siguiente pregunta:

¿Existe un (finito) de grupo $G$ con un exterior automorphism $\varphi$ tal que $g$ $\varphi(g)$ son conjugada para todos los $g\in G$?

La palabra 'finito' está en paréntesis porque yo estaría interesado en cualquier ejemplo de un grupo, pero prefiero un ejemplo con un grupo finito. Estoy convencido de que ese ejemplo debe existe, de lo contrario, esto daría un aparentemente muy débil condición suficiente para que un automorphism ser interior, que me iba a encontrar difícil de creer. Pero no me importa ser sorprendido.

He comprobado un par de muy no-abelian grupos y un par de pequeños grupos, pero no he sido capaz de encontrar cualquier exterior de automorfismos. Si usted sabe de un ejemplo, o tienen algunas buenas ideas de donde buscar uno, yo estaría encantado de escuchar.

Answer 1

Ejemplos de tales grupos de orden $p^6$ para los números primos $p \equiv \pm 3 \bmod 8$ se encuentra por Burnside en 1913. Ver aquí para exampes de $2$-grupos con esta propiedad.

Answer 2

El infinito alternando grupo $A_\infty$ incluso de permutaciones en una contables set (fijación de todos, pero un número finito de elementos) tiene un exterior automorphism de la conjugación por alguna extraña permutación $g$, pero para cualquier fija $x\in A_\infty$ podemos encontrar algunos de transposición $t$ en el conjunto de puntos fijos de ambos $x$$g$, y, a continuación,$tgxg^{-1}t^{-1}=gxg^{-1}$, lo $x$ es conjugado (incluso a través de la permutación $tg$)$gxg^{-1}$, aunque $g$ no $A_\infty$.