Transformada de Laplace del sistema

Question

El curso que estoy tomando es una visión matemática del procesamiento de señales. Esta es una pregunta de un antiguo examen.

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Sea un sistema causal y continuo, dada la función de transferencia

\begin{equation} H(s) = \frac{a}{s+b} \end{equation}

dejar \begin{equation} \begin{split} x(t) &= \sin(t) \\ y(t) &= \sqrt{2} \sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right) \\ \end{split} \end{equation}

encontrar $a$ y $b$ .

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Mi opinión sobre este problema:

Encontrando $Y(s)$ \begin{equation} \begin{split} y(t) &= \sqrt{2} \sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \sqrt{2}\left( \sin(t) \cos\left(-\frac{\pi}{4} \right) + \cos(t) \sin\left(-\frac{\pi}{4} \right) \right) \\ &= \sqrt{2}\left( \frac{sin(t)}{\sqrt(2)} - \frac{cos(t)}{\sqrt(2)} \right) \\ &= \sin(t) - \cos(t) \\ Y(s) &= \frac{1}{s^2 + 1} - \frac{s}{s^2+1} \\ &= \frac{1-s}{s^2+1} \end{split} \end{equation}

Resolver para $a$ y $b$

\begin{equation} \begin{split} Y(s) &= H(s)X(s) \Rightarrow H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \\ \frac{a}{s+b} &= \frac{\frac{1-s}{s^2+1}}{\frac{1}{s^2+1}} = 1 -s\\ \end{split} \end{equation}

Lo cual no es correcto. ¿Qué estoy haciendo mal?

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Las soluciones son

\begin{equation} \begin{split} a &= 2 \\ b &= 1 \end{split} \end{equation}

Answer 1

Tenga en cuenta que $y(t)$ no es una solución causal, comienza con $y(0)=-1$ . Es el estacionario solución, que es la salida que se obtiene si se enchufa $x(t)$ y esperar infinitamente hasta que la parte de transición muera. Sin embargo, la solución estacionaria es una solución particular de la ecuación diferencial que representa el sistema, es decir $$ \dot y(t)+by(t)=ax(t). $$ Ahora tome las funciones dadas e identifique $a$ , $b$ , estableciendo, por ejemplo $t=0$ y $t=\frac{\pi}{4}$ .

Otra forma de hacerlo es "leer" en la salida que la amplitud a la frecuencia que uno es $\sqrt{2}$ y el desfase es $-\frac{\pi}{4}$ es decir $$ H(i)=\frac{a}{i+b}=\sqrt{2}e^{-i\pi/4}=1-i. $$

P.D. El último método está relacionado con lo que hiciste en tu solución con la diferencia de que estabas pensando en una transformada de Laplace de un solo lado, pero debería ser de dos lados. La transformada de Laplace de dos caras de una oscilación pura en una frecuencia $\omega$ contiene la parte de distribución $\delta(s-i\omega)$ . Es como su ecuación $$ H(s)=\frac{a}{s+b}=1-s $$ sólo es válida para $s=i$ .