Un problema de localización cónica

Question

El problema:

Desde cualquier punto fijo del eje de una cónica general, se traza una línea perpendicular a la tangente en $P$ (en la cónica) que se encuentra $SP$ sur $R$ donde $S$ es el centro de atención. Demuestre que el lugar de $R$ es un círculo.

La verdad es que no sé por dónde empezar, he dibujado el esquema y ahora estoy atascado. Mi intento era considerar cuatro puntos de la cónica y demostrar que los cuatro puntos correspondientes $R$ son cíclicos, pero no lo consigo.

Answer 1

Mostraré la prueba para una elipse, los otros casos son análogos.

En una elipse, la bisectriz $PH$ de $\angle SPS'$ (donde $S'$ es el segundo foco) es perpendicular a la tangente en $P$ . Se deduce que los triángulos $SPH$ y $SDR$ son similares ( $D$ es el punto fijo en el eje $SS'$ ) y $SR:SP=SD:SH$ Es decir: $$ SR={SP\over SH}SD. $$ Por otro lado, a partir del teorema de la bisectriz del ángulo tenemos $SP:S'P=SH:S'H$ Es decir: $$ {SP\over SH}={SP+S'P\over SH+S'H}={a\over c}, $$ donde $2a$ es el eje mayor de la elipse y $2c=SS'$ . Insertando este resultado en la ecuación anterior obtenemos que $SR$ es constante, por lo que $R$ pertenece a un círculo de centro $S$ y el radio ${a\over c}SD$ .

Answer 2

(Me remito al excelente dibujo y a las anotaciones de la solución de Aretino, siendo mi solución del mismo espíritu).

Es una consecuencia de la siguiente propiedad de una elipse (véase la prueba más adelante) :

El lugar del punto simétrico (variable) $T$ de uno de los focos, digamos $S'$ con respecto a una tangente variable es un círculo $C$ centrado en el otro foco $F$ con radio $2a$ (esto es bastante conocido por la "construcción de papel plegado de una elipse" : ver http://kuzeemath.blogspot.com/2013/11/3-different-methods-to-conic-sections.html ). El círculo final (círculo rojo en el dibujo de Aretino) se obtiene tomando la imagen homotética del círculo $C$ utilizando la homotecia con centro $F$ que envía $S'$ en $D$ : volvemos a encontrar de esta manera el radio $2a\dfrac{SD}{2c}$ obtenido por Aretino.

Prueba : la propiedad anterior es una consecuencia inmediata de la definición bifocal de una elipse :

$$SM+MS'=2a \ \iff SM+MT=2a \ \iff \ ST=2a$$

si tomamos por $M$ el punto de tangencia.