Unión de dos conjuntos "no conectados" de números reales

Question

Si $P$ y $Q$ son dos subconjuntos "no conectados" del conjunto de todos los números reales entonces es la unión de $P$ y $Q$ ¿No está conectado?

Todavía no he encontrado ningún contraejemplo, pero la respuesta se da "no".

Answer 1

¿Qué tal si $P$ siendo el conjunto de los racionales, y $Q$ ¿el conjunto de irracionales?

O $P=[0,1]\cup[2,3]$ y $Q=[1,2]\cup[3,4]$ ?

Answer 2

Considere el siguiente hecho:

En $\mathbb{R}$ el complemento de un conjunto desconectado con al menos $3$ componentes conectados también está desconectado.

Esto permite construir muchos contraejemplos, incluyendo todos los casos posibles con $P \cap Q = \emptyset$ . Simplemente deje que $P$ sea cualquier conjunto desconectado con al menos $3$ "huecos", y que $Q = \mathbb{R} \setminus P$ . Estos están desconectados, pero $P \cup Q = \mathbb{R}$ está conectado. Por supuesto, este proceso también puede llevarse a cabo en cualquier subconjunto conectado de $\mathbb{R}$ .

Answer 3

Quizás consideremos el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.