¿Qué cosas tenemos que tener en cuenta al encontrar el grado de extensión del campo, dividiendo los campos para algún polinomio?

Question

Acabo de empezar la teoría del campo de Gallian. Puede ocurrir que el razonamiento que estoy dando para este problema parezca raro. Pero todo esto es por lo que traté de aprender de algunos problemas en el intercambio de pilas de matemáticas.

Supongamos que $\mathbb F \subset \mathbb C$ es el campo de división de $x^7-2$ en $\mathbb Q$ y $z=e^{\frac {2\pi}{7}}$ una primitiva raíz séptima de la unidad. Sea [ $\mathbb F: \mathbb Q(z)]=a$ y $[\mathbb F: \mathbb Q(2^{(1/7)})]=b$ . Entonces

(A) $a=b=7$

(B) $a=b=6$

(C) $a>b$

(D) $a<b$

Dado que el grado de la extensión del campo es el grado del polinomio irreducible cuya raíz es $e^{\frac {2\pi}{7}}$ y el coeficiente está en $\mathbb Q(2\pi/7)$ . Aquí el polinomio es $p(z)=z^7-1$ . Así que $a=7$ De la misma manera $b=7$ pero esta mal. No sé la respuesta correcta.

Si es posible, por favor, explíqueme en detalle cómo encontrar el grado de extensión del campo, campos de división para algún polinomio. ¿Qué cosas tenemos que tener en cuenta al encontrar el grado de extensión del campo, campos de división para algún polinomio?

Answer 1

En primer lugar, tienes una errata, $\large z = e^{\frac{2\pi}{7}i}$ . De todos modos, tenga en cuenta que $\mathbb{F} = \mathbb{Q}(z)(2^{\frac{1}{7}}).$ Así que $[\mathbb{F} : \mathbb{Q}(z)]$ es el grado del polinomio mínimo de $2^{\frac{1}{7}}$ sobre el campo $\mathbb{Q}(z)$ . El polinomio mínimo sigue siendo $x^7-2$ Así que $[\mathbb{F} : \mathbb{Q}(z)] = 7.$

Ahora, alternativamente $\mathbb{F} = \mathbb{Q}(2^{\frac{1}{7}})(z)$ . Así que $[\mathbb{F} : \mathbb{Q}(2^{\frac{1}{7}})]$ es el grado del polinomio mínimo de $z$ en $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{7}})$ . El polinomio mínimo de $z$ es $\textbf{not}$ $x^7-1$ , esto no es irreducible. El polinomio mínimo de $z$ es $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6$ (para una discusión de los polinomios mínimos de las raíces primitivas de la unidad, consulte la página de Wikipedia sobre Polinomios ciclotómicos .) De todos modos, vemos que $[\mathbb{F} : \mathbb{Q}(2^{\frac{1}{7}})] = 6$ .

Nota al margen: Aunque no se plantea en la pregunta, podemos ver que $$[\mathbb{F} : \mathbb{Q}] = [\mathbb{F}: \mathbb{Q(z)}][\mathbb{Q}(z):\mathbb{Q}]= 7*6 = 42.$$