Demostrar rigurosamente que la suma de las integrales de $f$, y la de su inversa es $bf(b)-af(a)$

Question

Supongamos $f$ es continua, estrictamente creciente en función definida en un intervalo cerrado $[a,b]$ tal que $f^{-1}$ es la función inversa de la $f$. Demostrar que,

$\int_{a}^bf(x)dx+\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx=bf(b)-af(a)$

Un estudiante de escuela secundaria o un Cálculo estudiante de primer año simplemente, posiblemente, aplicar el cambio de variable de la técnica, a continuación, integración por partes y que él/ella va a llegar a la respuesta sin pensar demasiado en el proceso. Un inteligente estudiante probablemente comparar las integrales con las áreas y a la conclusión de que la igualdad es inmediata.

Sin embargo, soy un estudiante de pregrado de Análisis y me gustaría resolver el problema "con cuidado". Es decir, yo no quiero que se olvide de mi definiciones, y las condiciones de cada técnica. Por ejemplo, cuando se aplique el cambio de las variables de la técnica, no puedo aplicar ciegamente; debo ser prudente como para darse cuenta de que el criterio a aplicar se incluye continua de la diferenciabilidad de una función. Simplemente con $f$ continuo, no puedo aplicar el cambio de las variables de la técnica.

¿Hay algún método para resolver este problema rigurosamente? Uno puede aplicar las técnicas de integración por partes, cambio de variables, etc.) sólo después de una justificación adecuada.

La razón por la que no estoy de añadir ningún trabajo mío es simplemente que yo no podía proceder de una sola línea, ya que no soy dado a $f$ es diferenciable. Sin embargo, esto parece llevar a cabo para no funciones diferenciables también.

Me gustaría un poco de ayuda. Pictórico de las pruebas y/o área de argumentos no son válidos.

Answer 1

Deje $\{x_0,x_1,\dots,x_N\}$ ser una partición de $[a,b]$. A continuación, $\{f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_N)\}$ es una partición de a $[f(a),f(b)]$. La siguiente igualdad se tiene: $$ \sum_{i=0}^{N-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)+\sum_{i=0}^{N-1}x_i(f(x_{i+1})-f(x_i))+\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_i)(f(x_{i+1})-f(x_i))=b\,f(b)-a\,f(a). $$ Las dos primeras sumas sumas de Riemann para $\int_a^bf$ $\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}$ respectivamente. El tercer suma converge a $0$ como el tamaño de la partición que se va a $0$.

Answer 2

Creo que es muy natural en un geométricas punto de vista. Es sólo acerca de la adición de dos áreas, que conforman un gran rectángulo de la resta de uno pequeño. Ver el siguiente gráfico:

Ahora, obviamente, en el caso que se muestra en el gráfico $$S_1=\int_{a}^{b}f(x)dx$$ y $$S_2=\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx$$ Geométricamente, tenemos $$S_1+S_2=S_{big}-S_{small}$$ donde $S_{big}$ $S_{small}$ respectivamente denota el área de la gran rectángulo, y la pequeña en el gráfico. Por lo tanto $$\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx=bf(b)-af(a)$$

Answer 3

Deje $C$ ser la gráfica de $y = f(x)$ sobre el intervalo de $[a,b]$. A continuación, $\int_a^b f(x)\, dx$ es la integral de línea $\int_C y\, dx$, e $\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\, dy$ es la integral de línea $\int_C x\, dy$. Por lo tanto $$\int_a^b f(x)\, dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\, dy = \int_C x\, dy + y\, dx = \int_C d(xy) = bf(b) - af(a).$$

Answer 4

Yo creo que se quiere empezar por probar tres cosas:

1. El teorema se cumple para funciones lineales.
2. El teorema se cumple para funciones definidas a trozos funciones definidas, si se mantiene para cada pieza individual y todo sigue siendo monótono y continuo.
3. La regla trapezoidal se puede utilizar para aproximar la integral de cualquier función continua $f$ con la integral de una tramos función lineal (que será continua y monótona si $f$ es).

Los números 1. y 2. básicamente no requieren ningún tipo de análisis. Número 3. sigue con bastante rapidez desde el teorema del valor intermedio y la definición de la integral de Riemann.

Ahora, dados cualesquiera $\epsilon > 0$, elija una malla de modo que la regla trapezoidal se aproxima a $f$ a en $\epsilon/2$, y otro de malla por lo que se aproxima a $f^{-1}$ a en $\epsilon/2$. La malla en $f$ los rendimientos de una malla en $f^{-1}$ y viceversa, por lo que podemos pasar a un común refinamiento de estos dos mallas y considerar la función lineal a trozos $\tilde f$ dada por la aproximación de $f$ en que es común el refinamiento. A continuación, la suma de las dos integrales para$\tilde f$:

• Ser exactamente igual a $bf(b)-af(a)$
• Estar dentro de $\epsilon$ de la suma de dos integrales para $f$.

Desde $\epsilon$ fue arbitraria, hemos terminado.