Evaluar $\int_{0}^{1000} \frac{e^{-10x}\sin x}{x} \text{d}x$ a dentro de $\pm 10^{-5}.$

Question

Evaluar $$\displaystyle \int_{0}^{1000} \frac{e^{-10x}\sin x}{x} \text{d}x$$ a dentro de $\pm 10^{-5}$ .

Answer 1

El término exponencial prácticamente nos pide que sustituyamos el límite superior de la integral por $\infty$ . En ese caso, la integral puede evaluarse mediante el Teorema de Parseval.

$$f(x) = e^{-10 x}\, \theta(x) \implies \hat{f}(k) = \frac{1}{10-i k}$$

$$g(x) = \frac{\sin{x}}{x} \implies \hat{g}(k) = \begin{cases} \\ \pi & |k| < 1\\0 & |k|>1\end{cases}$$

$$\begin{align}\int_0^{\infty} dx \: e^{-10 x}\,\frac{\sin{x}}{x} &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-1}^1 dk \: \frac{\pi}{10-i k}\\ &= \frac{i}{2}\left [ \log{(10-i)} - \log{(10+i)}\right ]\\ &= \arctan{\frac{1}{10}} \\ &\approx 0.0996687 \end{align}$$

Esto es igual a la aproximación numérica de la integral indicada a mucho más que el número de lugares proporcionado anteriormente.

Answer 2

Pensando más en esto, uno no necesita aproximar la integral enviando el límite superior a $\infty$ ni saber evaluar la integral sobre $[0,\infty)$ .

Para $x > 0$ , $|\frac{\sin x}{x}| < 1$ y $e^{-x}$ baja a $0$ muy rápidamente. Si cortamos la integral en $1$ en lugar de $1000$ . El error:

$$\left|\int_{1}^{1000} e^{-10x} \frac{\sin x}{x} dx\right| < \int_{1}^{1000} e^{-10x} dx < \frac{e^{-10}}{10} \sim 4.54 \times 10^{-6}$$

es lo suficientemente pequeño. Para $x \in [0,1]$ se puede ampliar a Taylor $\frac{\sin x}{x}$ como:

$$\frac{\sin x}{x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k+1)!}$$

Si se corta el término para $k \ge 4$ tenemos:

$$\left|\frac{\sin x}{x} - (1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!})\right| < 1/9! + 1/11! + \cdots \sim 2.781\times 10^{-6}$$

Esto implica

$$\begin{align}&\left|\int_{0}^{1} e^{-10x}\frac{\sin x}{x} dx - \int_{0}^{1}e^{-10x}(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}) dx \right|\\ <& 2.781\times 10^{-6} \int_{0}^{1} e^{-10x} dx\\ \sim & 2.781 \times 10^{-7}\end{align}$$

Con una precisión de $10^{-5}$ tenemos:

$$\int_0^{1000} e^{-10x} \frac{\sin x}{x} dx \sim \int_0^1 e^{-10x} (1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}) dx \\= \frac{20930417}{210000000}-\frac{50976061}{630000000} e^{-10} \sim 0.099665$$