Pregunta sobre funciones crecientes y decrecientes

Question

Hola, estaba estudiando el teorema del valor medio y las funciones crecientes y decrecientes. Esta pregunta vino a mi mente. ¿Podemos decir que $f$ aumenta en $[a,b]$?

Answer 1

Para ampliar los comentarios sin apuntar a la máxima generalidad: Si $X$ es un conjunto de números reales, y si $f$ es una función de valores reales en $X$, decimos que $f$ es (estrictamente) creciente (en $X$) si $x_{1} < x_{2}$ implica $f(x_{1} < f(x_{2})$ para todos los $x_{1}$ y $x_{2}$ en $X$.

Es decir, "las funciones crecientes conservan las desigualdades": Aplicar una función creciente a una desigualdad da como resultado una nueva desigualdad del mismo signo.

Notas:

• El término no-decreciente es similar, y significa que $x_{1} < x_{2}$ implica $f(x_{1} \leq f(x_{2})$. Una función estrictamente creciente es no-decreciente. El término creciente puede significar bien no-decreciente o estrictamente creciente dependiendo del autor. Los autores a menudo especifican su convención al principio del libro. (Observaciones análogas se aplican a los términos "decreciente", "no-creciente" y "estrictamente decreciente".)

• Existe un criterio suficiente bien conocido en cálculo para que una función definida en un intervalo sea estrictamente creciente: Su derivada es positiva en todas partes. (Idea de la prueba: Con la notación precedente, aplicar el teorema del valor medio a $f$ en $[x_{1}, x_{2}]$.)

• El criterio suficiente bien conocido no es necesario: $f(x) = x^{3}$ es estrictamente creciente, aunque $f'(0) = 0$. Una función diferenciable estrictamente creciente puede tener infinitos puntos críticos. De hecho, el conjunto de puntos críticos puede ser un conjunto cerrado arbitrario con interior vacío. Este punto se entiende a menudo de forma incorrecta.

• El criterio suficiente bien conocido no se aplica si el dominio no es un intervalo. Por ejemplo, $f(x) = -1/x$, definida en el conjunto $X$ de números reales no nulos (un intervalo con un punto eliminado), tiene $f'(x) = 1/x^{2} < 0$ en todas partes en su dominio, pero no es creciente: Por ejemplo, $-1 < 1$, pero $f(-1) = 1 > -1 = f(1)$.

• Las funciones monótonas (que son no-decrecientes o no-crecientes) están entre las funciones más agradables cuando empezamos a profundizar en la teoría subyacente al cálculo. En particular, una función monótona tiene límites unilaterales en cada punto interior de su dominio, ya sea que la función sea continua ahí o no.