¿Puede verse una función de onda compleja simplemente como dos funciones reales que describen un estado de partícula y antipartícula?

Question

Supongamos el electromagnetismo. Hay dos cargas. La función de onda es compleja pero se puede ver canónicamente como un vector en $\mathbb{R}^2$ . ¿Podemos ver uno de los componentes como el electrón y el otro como el componente positrón?

Pero desde la asignación \begin{equation} electron \rightarrow \begin{pmatrix} { \varphi }_{ 1 } \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} positron \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ { \varphi }_{ 2 } \end{pmatrix} \end{equation}

es arbitraria, simplemente decimos \begin{equation} electron \rightarrow \begin{pmatrix} { \varphi }_{ 1 } \\ { \varphi }_{ 2 } \end{pmatrix} \end{equation} es un electrón y el complejo conjugado \begin{equation} positron \rightarrow \begin{pmatrix} { \varphi }_{ 1 } \\ {- \varphi }_{ 2 } \end{pmatrix} \end{equation} es un positrón. Lo pregunto porque supongo que el mismo patrón es válido para los quarks y $SU(3)$ . Hay 3 cargas de color y 3 anticargas y un quark es un vector \begin{equation} \begin{pmatrix} { \varphi }_{ r } \\ { \varphi }_{ g } \\ { \varphi }_{ b } \end{pmatrix} \end{equation} donde $r,g,b$ son los colores. Pero podría verse como un vector en $\mathbb{R}^6$ y el patrón anterior se mantiene. Es decir, ¿la estructura compleja de la mecánica cuántica sólo está relacionada con el hecho de que haya partículas y antipartículas? ¿Son las partículas y las antipartículas sólo los dos vectores base (reales) del plano complejo?

Edición: Digamos que tenemos una función de onda $\varphi(x)$ . Siempre podemos descomponerlo en

\begin{equation} \varphi= \begin{pmatrix} { \varphi }_{ 1 } \\ { \varphi }_{ 2 } \end{pmatrix} \end{equation} La carga es sólo el nombre de un vector base en un espacio $\mathbb{C}^n$ . Por ejemplo, para la carga de color utilizamos $\mathbb{C}^3$ , sólo para el electromagnetismo $\mathbb{C}$ . Podemos ver $\varphi$ y $\varphi^*$ como base para $\mathbb{C}$ cuando se ve como un espacio vectorial real? ¿Y por qué debería $\varphi^*$ no sea la antipartícula?

Answer 1

No. Por ejemplo, si tomas un electrón libre que se mueve con impulso $\vec{k}$ entonces su función de onda es compleja $\psi \sim e^{i \vec{k}\cdot \vec{x}}$ . Si por alguna razón tuvieras un prejuicio que te hiciera preferir trabajar con partes reales e imaginarias en lugar de con números complejos, podrías escribir $\psi=\psi_R+i\psi_I$ con $\psi_R\sim \cos(\vec{k}\cdot\vec{x})$ y $\psi_I \sim \sin(\vec{k}\cdot\vec{x})$ ambos reales. Digamos que de alguna manera transformas la función de onda de manera que proyectas la parte real o la imaginaria, así que $\psi \rightarrow \psi_R$ o $\psi\rightarrow \psi_I$ . De cualquier manera, si se midiera la carga eléctrica siempre se encontraría que es $-e$ . Como los positrones tienen carga $+e$ no $-e$ , ni $\psi_R$ ni $\psi_I$ puede representar un positrón.

Answer 2

La identificación del componente de positrones y electrones no puede hacerse de forma tan directa. De hecho, no hay forma de hacerlo mediante un local operación en el campo, la componente del positrón y del electrón están ocultas en el modo global del campo por el modo global, como ya dijo Andrew.

Sin embargo, es cierto que para un campo complejo $\phi$ A menudo es instructivo entender $\phi$ y su complejo conjugado $\phi^*$ como campos independientes. Esto se hace, por ejemplo, cuando se derivan las ecuaciones de movimiento variando el funcional de acción. En principio, también se puede escribir exactamente como sugieres: $\phi \leftrightarrow (\varphi_1, \varphi_2)$ donde $\varphi_1,\varphi_2$ son partes reales e imaginarias. Entonces tienes operaciones como $$\phi \to i \phi\; \leftrightarrow\; (\varphi_1,\varphi_2) \to (\varphi_1,\varphi_2)\cdot \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ o $$\phi \phi^* \leftrightarrow (\varphi_1,\varphi_2) \cdot \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot (\varphi_1,\varphi_2)^T$$ La transformación gauge U(1) actúa entonces sobre este vector como $$e^{i\theta} \phi \; \leftrightarrow\; (\varphi_1,\varphi_2) \to (\varphi_1,\varphi_2)\cdot \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos \theta\end{pmatrix} $$ Me parece útil para mostrar las similitudes entre la teoría gauge U(1) y la teoría gauge SU(3) - la transformación gauge puede entenderse como que siempre actúa sobre los vectores. Y sí, de nuevo una observación correcta de que al usar campos complejos estamos de hecho trabajando implícitamente en $U(1)\times SU(3)$ ¡! Como usted dice, en principio podríamos escribir esta teoría utilizando $\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^3$ vectores, pero casi nunca se hace.