Prueba $v = \sqrt{\frac{2gRh}{R + h}}$ de Given (abajo)

Question

Dada:

$$F = \frac{mgR^2}{(x + R)^2}$$

$m = \text{mass}$

$g = \text{Acceleration due to gravity}$

$x = x(t)$ es la distancia del objeto sobre la superficie en el momento $t$ .

Creo que este es el Ley Universal de Gravitación (corrígeme si me equivoco)

También por la Segunda Ley de Newton, $F = ma = m\left(\dfrac{dv}{dt}\right).$

La pregunta dice:

Supongamos que un cohete asciende primero verticalmente con una velocidad inicial $v$ . Sea $h$ sea la altura máxima sobre la superficie alcanzada por el objeto. Demuestra que:

$$v = \sqrt{\frac{2gRh}{R + h}}.$$

En la parte inferior del problema dice: Pista: por la regla de la cadena $$m\frac{dv}{dt} = mv\frac{dv}{dx}$$

Si no es mucho problema, ¿cómo obtuvieron los autores del libro de texto este resultado utilizando la regla de la cadena?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Desde $v=dx/dt$ por la regla de la cadena, obtenemos lo siguiente ecuación diferencial separable $$mv\frac{dv}{dx}=m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=m\frac{dv}{dt}=ma = F = -\frac{mgR^2}{(x + R)^2}$$ (nótese el signo negativo, ¡la fuerza de gravitación es atractiva!). Entonces, integrando obtenemos $$\int_{v_0}^0v{dv}=-\int_0^{h}\frac{gR^2}{(x + R)^2}{dx}$$ es decir $$\left[\frac{v^2}{2}\right]_{v_0}^0 =\left[\frac{gR^2}{x + R}\right]_0^{h}\implies -\frac{v_0^2}{2}=\frac{gR^2}{(h + R)}-\frac{gR^2}{R}\implies v_0 = \sqrt{\frac{2gRh}{R + h}}$$ donde $v_0$ es la velocidad inicial y $h$ la altura máxima sobre la superficie alcanzada por el objeto (en ese punto la velocidad del objeto es cero).

P.D. Tenga en cuenta que para $h\to +\infty$ el resultado anterior da la fórmula del velocidad de escape es decir $v_e=\sqrt{2gR}$ .

Answer 2

Desde $$v=\frac{dx}{dt}$$ tenemos $$\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}$$