Estaba calculando integrales, y estaba pensando en una antiderivada de $\int e^{-x^2} dx $ . Verás, sé que esta función no tiene una antiderivada elemental, pero tuve curiosidad y probé un poco. Para ello he utilizado el hecho conocido, que $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ Así que reemplacé $x$ por $-x^2$ . Esto da lo siguiente : $\int e^{-x^2}dx=\int \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{-x^{2^n}}{n!} dx$ . Ahora bien, si se integra, término a término, ¿no sería una suma contable de funciones elementales, haciéndola así elemetaria? Agradecería que alguien me señalara mi(s) defecto(s) aquí. Tal vez simplemente no puedo sustituir $x$ para $-x^2$ ?
Respuesta
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talbi
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Debo señalar que, en realidad, su $(-x^2)^{n} = (-1)^{n}x^{2n}$ .
No hay problema en sustituir $x$ De hecho, ayuda a definir la función de error.
De todos modos, la función que se puede obtener de esta sustitución no es elemental, simplemente porque es un suma infinita de polinomios ¡!
Véase la definición de función elemental aquí .
Edición: Gracias Matthew Towers por corregirme - sí, un polinomio infinito puede ser una función elemental - por ejemplo, $\sum_{n \geqslant 0} \frac{x^n}{n!}$ . Aunque algunos polinomios infinitos son funciones elementales, otros no lo son, por ejemplo su integral (o la integral de $e^{x^2}, x^x$ y un montón más). Demostrar esto no es muy fácil, de hecho es bastante difícil.
Desgraciadamente, por mucho que odie decir esto (especialmente en matemáticas), tienes que estar de acuerdo en que la integral que has presentado no es elemental, ya que para demostrarla se necesitan muchos conocimientos adicionales, que desgraciadamente no conozco. Si todavía quieres leer algo más sobre esto, aquí hay unas cuantas preguntas más en Math SE que hablan de esto:
