Cardinalidad del conjunto que contiene todos los subconjuntos infinitos de $\mathbb{Q}$

Question

Necesito encontrar la cardinalidad del conjunto $S$ de todos los subconjuntos infinitos de $\mathbb{Q}$ .

Es fácil de probar $\operatorname{card} S=\mathfrak c$ si primero se demuestra que la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{Q}$ es $\aleph_0$ .

Pero ¿hay alguna otra prueba para el enunciado sin usar la segunda (sobre subconjuntos finitos)? Probablemente sí =)

Answer 1

A cada número real $r$ se puede asociar el conjunto $\{q\in\mathbb Q:q<r\}$ . Números reales distintos producen así conjuntos infinitos distintos de números racionales. Así que hay al menos $\mathfrak c$ conjuntos infinitos de números racionales. Como parece que ya sabes que hay como mucho $\mathfrak c$ tales conjuntos, el Teorema de Schröder-Bernstein termina la demostración.

Answer 2

En realidad, la prueba estándar es más fácil en este caso: Sea $A$ sea el conjunto de todos los subconjuntos infinitos de $\mathbb N$ .

Para cada $B \in A$ definimos $x_i=1$ si $i \in B$ y $x_i=0$ si $i \notin B$ . Definir

$$f(B)=0.x_1x_2...x_n..._{(2)} \,,$$ que significa la representación en binario.

Entonces $f$ es una biyección entre $A$ y $(0,1]$ . Tenga en cuenta que esta vez ya no se encuentra con el problema de que algunos números tengan dos expansiones.

Answer 3

Fijar una biyección $f: \Bbb N \to \Bbb Q$ . Por comodidad, supongamos que $\Bbb N = \Bbb Z_{>0}$ .

Está claro que existe una correspondencia biyectiva entre subconjuntos infinitos $A \subseteq \Bbb Q$ y funciones estrictamente crecientes $g: \Bbb N \to \Bbb N$ , por:

\begin{align} A\subseteq \Bbb Q \quad&\longrightarrow\quad g(n) = \text{$n$th smallest $m$ such that $f(m) \in A$}\\ \{f(g(n)):n \in \Bbb N\} \quad&\longleftarrow\quad g:\Bbb N \to \Bbb N \end{align}

Una función creciente $g: \Bbb N \to \Bbb N$ se describe de forma equivalente mediante un mapeo $h: \Bbb N \to \Bbb N$ de la siguiente manera:

\begin{align} g: \Bbb N \to \Bbb N \quad&\longrightarrow\quad h(1)=g(1),h(n) = g(n)-g(n-1)\\ g(n) = \sum_{k\le n} h(k) \quad&\longleftarrow\quad h:\Bbb N \to \Bbb N \end{align}

De estas últimas funciones hay $\aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c$ .