extender una función holomorfa en una vecindad de 1 para que sea entera

Question

Estoy atascado en una pregunta del examen de calificación, no estoy muy familiarizado con el método de solución. Es la siguiente:

Dejemos que $f(z)$ sea una función entera y $g(z)$ sea analítica en una vecindad de $z=1$ que satisface $g^{(n)}(1)=(f^{(n)}(1))^{\alpha}/(n!)^{\alpha-1}$ , donde $\alpha >0$ . Demostrar que $g(z)$ puede extenderse a toda una función.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

edición: corregida la errata

Answer 1

Utilice la fórmula de Hadamard para calcular el radio de convergencia de $g$ No es un trabajo duro.

En realidad, se puede mostrar en un barrio de 1, $g$ tiene los coeficientes de expansión $g_n=(f_n)^\alpha$ , donde $f(z)=\sum_{n \geqslant0}f_n(z-1)^n$ .

Explícitamente, $f_n=\frac{f^{(n)}(1)}{n!},~g_n=\frac{g^{(n)}(1)}{n!}$ , observe la fórmula de $g^{(n)}(1)$ que le ha dado usted, $g_n=(f_n)^\alpha$ ¡es fácil de comprobar!

De modo que $\rho(g)=\rho(f)^\alpha$ que es $\infty$ por $\rho(f)=\infty$ .

Observación. Para una expansión $\sum_{n\geqslant 0} a_n(z-z_0)^n$ avec $a_n$ números complejos,

$ (\mbox{the convergence radius})^{-1}=\mbox{lim sup}_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} $

Esta es la fórmula de Hadamard.