Sabemos cómo sumar o promediar un número finito de términos: sumas.
Sabemos cómo sumar un número infinito contable ${\beth_0}$ de los términos: serie.
Sabemos cómo sumar ${\beth_1}$ términos: integrales.
Cómo sumar ${\beth_2}$ términos: ???
Un ejemplo "concreto", por favor.
Dejemos que ${\mathbb{R}^\mathbb{R}}$ sea el conjunto de todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .
Dejemos que ${x_0} \in \mathbb{R}$ . Sea ${\mathbb{R}^\mathbb{R}}\left( {{x_0}} \right)$ sea el subconjunto de todas las funciones en ${\mathbb{R}^\mathbb{R}}$ teniendo ${{x_0}}$ en sus ámbitos de definición. Todavía hay ${\beth_2}$ de ellos.
¿Es la "imagen media funcional" de ${x_0}$ bajo todas las funciones en ${\mathbb{R}^\mathbb{R}}\left( {{x_0}} \right)$ que podemos formalmente escribir como
$\int\limits_{{\mathbb{R}^\mathbb{R}}\left( {{x_0}} \right)} {{\text{D}}f\,f\left( {{x_0}} \right)\,\,} $
(bien) definido? Si no, ¿por qué?
La misma pregunta en el conjunto de todas las biyecciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ .
Esta hipotética "imagen media funcional", que se comparará con la habitual ${\beth_1}$ integral
$\int\limits_\mathbb{R} {{\text{d}}xf\left( x \right)} $
- puede estar (bien) definida en alguna rama de las matemáticas que yo (o tú) desconozco;
- puede ser un objeto matemático no identificado;
- puede no existir.
Cualquier cosa es bienvenida. Mis disculpas si es trivial pero sinceramente no lo sé. Gracias.
