Dejemos que $R$ sea un anillo primo. Entonces $ab,a\in Z(R) \implies b\in Z(R)$ ?

Question

Dejemos que $R$ un anillo primo y $a,b\in R$ tal que $ab,a\in Z(R),$ centro del anillo $R$ . ¿Podemos decir que $b\in Z(R)?$

Un anillo $R$ se dice que es primo si $aRb=0\implies $ o bien $a=0$ ou $b=0$ .

Si el anillo $R$ tiene unidad y $a^{-1}$ existe entonces claramente $b\in Z(R)$ pero en caso de que el anillo $R$ no necesita tener unidad, entonces qué podemos decir de $b$ ?

Answer 1

Para arraigar la conclusión en las definiciones, asumiendo $a\neq 0$ :

Consideremos un $c\in R$ . Entonces

$aR(bc-cb)=R(abc-cba)=R(abc-cab)=R(abc-abc)=\{0\}$

donde las dos primeras igualdades utilizan la centralidad de $a$ y la tercera utiliza la centralidad de $ab$ .

Por la definición de un anillo primo, $bc-cb=0$ . Desde $c$ era arbitraria, hemos comprobado que $b$ es central.

Si $a=0$ entonces $b$ puede ser cualquier cosa y $ab$ es central también, así que no hay manera de concluir $b$ es central.