Mostrar $ f(x,y)= 2x\sin(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}) - x\cos(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}) \sqrt{x^2+y^2}^{-1}$ no continua en $(0,0)$

Question

$f(x,y) = 2x\sin(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}) - \frac{x\cos(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}})}{ \sqrt{x^2+y^2}} $

Estoy un poco desconcertado. La afirmación es obviamente cierta si se traza la función.

Formal: $\quad f(a_n,b_n) \not\rightarrow (0,0)\quad for \quad (a_n,b_n) \rightarrow (0,0)$

He intentado algo parecido a $\sin(\frac{1}{a_n}) = \sin(\pi[4n+1]) = 1$ pero este intento fue infructuoso.

Answer 1

Inténtalo en dos líneas:

1) $x=0,y=t$ , donde $t \to 0$ En esta línea el límite es cero.

2) $x=t,y=0$ , $t \to 0$ en esta línea el límite no existe, porque el límite $\lim_{t \to 0}\cos(\frac{1}{|t|})$ no existe.

Answer 2

Dejemos que $x =r \cos(\phi), y = r\sin(\phi)$ entonces tienes

\begin{align*} \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) &= \lim_{(x,y)\to(0,0)}2x\sin(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}) - \frac{x\cos(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}})}{ \sqrt{x^2+y^2}} \\ &= \lim_{r\to 0}2 r\cos(\phi) \sin\left(\dfrac{1}{r}\right)- \dfrac{r\cos(\phi)\cos\left(\dfrac{1}{r}\right)}{r} \end{align*}

Ahora $\lim_{r\to0}2r\cos(\phi)\sin\left(\frac{1}{r}\right)$ converge a $0$ indipendientemente del ángulo $\phi$ pero $\lim_{r\to 0} \cos(\phi)\cos\left(\frac{1}{r}\right)$ va a $0$ en función del ángulo $\phi$ por lo que su función no es continua en $(0,0)$

Answer 3

Técnicamente, como esta función no está definida en $(0,0)$ La pregunta debería estar redactada de la siguiente manera: "demuestre que $f$ no tiene límite en $(0,0)$ " o "demostrar que no hay manera de ampliar $f$ en $(0,0)$ para que la extensión sea continua".

Intuitivamente, hay dos razones por las que una función puede no tener un límite: o bien la función se desvía por completo (al menos a lo largo de un camino de aproximación), o bien oscila entre varios puntos.¹ Así que para demostrar la ausencia de un límite, se puede buscar cualquiera de estas propiedades:

• Hay una secuencia $(x_n,y_n)$ tal que $\lim (x_n,y_n) = 0$ y $\lim |f(x_n,y_n)| = \infty$ . Basta con encontrar un parámetro real $t$ tal que $\lim_{t\to 0} |f(t)| = \infty$ . En otras palabras, la función es localmente ilimitada en $(0,0)$ .
• Hay unas secuencias $(x_n,y_n)$ y $(x'_n,y'_n)$ tal que $\lim (x_n,y_n) = \lim (x'_n,y'_n) = 0$ y $\lim f(x_n,y_n) \ne \lim f(x'_n,y'_n)$ (existiendo ambos límites). De nuevo, basta con encontrar dos parametrizaciones reales que conduzcan a límites diferentes, es decir $\lim_{t\to 0} f(x(t),y(t)) \ne \lim_{t\to 0} f(x'(t),y'(t))$ . En otras palabras, hay dos caminos de aproximación que conducen a diferentes puntos límite.

Estas condiciones son claramente suficientes para no tener límite. De hecho, son necesarias - $\mathbb{R}^n$ es un localmente compacto espacio métrico, por lo que cualquier secuencia se aleja hasta el infinito (es decir, es ilimitada) o tiene un punto límite y en este último caso tiene un límite si tiene un único punto límite. No es necesario que sepas (o entiendas) esa parte, lo único que digo es que la técnica anterior siempre funcionará si encuentras la(s) ruta(s) de aproximación correcta(s).

Está claro que la función está acotada en torno a $(0,0)$ porque $\left| \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le 1$ así que $|f(x,y)| \le 2|x| + 1$ . Así que tenemos que buscar dos caminos de aproximación que lleven a diferentes puntos límite.

$x=0$ es algo obvio que hay que intentar: $f(0,y) = 0$ . Bien, $0$ es un punto límite; lo único que necesitamos ahora es encontrar otro.

Después de haber intentado $x=0$ , vamos a intentarlo $y=0$ . Para $x \gt 0$ , $f(x,0) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$ . El primer término tiene el límite $0$ (porque $|\sin(1/x)| \le 1$ así que $\lim_{x\to 0^+} x \sin(1/x) = 0$ ), por lo que debemos demostrar que el segundo término no tiene el límite $0$ . Esto es intuitivamente claro si lo graficas: $\cos(1/x)$ oscila entre $-1$ y $1$ . Sabemos que $\cos(1/x) = 1$ cuando $1/x = 2n\pi$ para algún número entero $n$ Así pues, tomemos $x_n = 1/(2n\pi)$ . Tenemos $\lim_{n\to\infty} f(x_n,0) = 0 - \lim_{n\to\infty} \cos(2n\pi) = 0 - \lim_{n\to\infty} 1 = -1$ .

Desde $f$ tiene ambos $0$ y $1$ como puntos límite en $(0,0)$ no tiene límite.