Este es el problema 10 de la Internacional de la Competencia de Matemáticas para Estudiantes de la Universidad de 2015, a partir del día 2, en Bulgaria. Creo que es un problema interesante!
Deje $n$ ser un entero positivo, y $p(x)$ ser un polinomio de grado $n$ con coeficientes enteros. Demostrar que $$ \max_{x\in [0,1]}\left|p(x) \right| > \frac{1}{e^{n}}. $$
Propuesto por Géza Kós, de la Universidad de Eötvös de Budapest.
No es una respuesta completa, pero añadiendo a Colm la respuesta, tenemos que comenzar por señalar que si la condición está siendo violado por cualquier polinomio P(x), P(0) debe ser cero, como debe ser P(1).
Esto es debido a que P(0) y P(1) son necesariamente integral y siempre será mayor que e^(-n), donde n es como se define.
Por lo tanto, un polinomio siempre se pueden expresar como x(x-1)g(x). Por inducción, podemos ver que si |g(x)| alcanza su maxima en un rango de mentir en [1/2-k,1/2+k] tales que el valor de k permite que x(x-1) para superar e^(-2) en valor absoluto, tenemos la contradicción y la solución.
No es una respuesta completa a Solo una (bastante obvio) idea para combatir este.
El caso de $n = 1$ es casi trivial. Deje que el polinomio ser $ax + b$. Entonces si $|b| > \frac{1}{e}$, se puede elegir $x = 0$ y hemos terminado. Otra cosa $|b| \leq \frac{1}{e}$. Lo que la elección de $x = 1$ obtenemos $|ax + b| = |a + b| > 1 - \frac{1}{e} > \frac{1}{e}$. La última desigualdad de la cadena tiene porque $a$ debe ser un entero.
La Idea aquí: Inducción en $n$. La hipótesis inductiva nos da dos resultados:
Tal vez también la expansión en series de Taylor para $e^{-nx}$ sería útil aquí, porque entonces estamos comparando polinomios con polinomios.
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