¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al valor de la integral $\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{3x}} dx$ ?

Question

Soy un estudiante que está estudiando para el GRE.

Encontré este problema en un simulacro de examen práctico. Dice lo siguiente.

"¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al valor de esta integral?

$\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{3x}} dx$

(A) 1

(B) 1.2

(C) 1.6

(D) 2

(E) La integral no converge".

La respuesta correcta resulta ser (C), y que la forma más rápida es estimar por arriba y por abajo. Me parece que la mejor manera de hacer muchos problemas de integración del GRE es estimando para ahorrar tiempo. El único problema es que el integrando no está acotado en $(0,1)$ por lo que necesito un enfoque diferente y enchufar un límite superior. ¿Algún consejo para este problema y más trucos para estimar las integrales?

Answer 1

Usted quiere que el área intercalada entre $x=0, y=0, x=1$ y $ y=\sqrt{1+\frac{1}{3x}}$ . Así que en lugar de integrar $0<x<1$ , integrar $\sqrt{\frac{4}{3}}<y<\infty$ y añade el rectángulo de abajo. Así que tu respuesta es

$$1\times\sqrt{\frac{4}{3}} + \int_{\sqrt{\frac{4}{3}}}^{\infty}\frac{1}{3y^2-3}dy$$

La integral se puede hacer con fracciones parciales y es igual a

$$\frac{-1}{6} \ln(7 - 4 \sqrt3)$$

Para estimarlas a mano, anote $\frac{4}{3}\approx 1.3$ y como $(1+x)^2\approx 1+2x$ para los pequeños $x$ tenemos $\sqrt\frac{4}{3}\approx 1.15$ .

Además, recuerda $\sqrt{3}\approx 1.73$ . Por lo tanto, $7-4\sqrt{3}\approx .08\approx\frac{1}{12}$ . Si recordamos $e^2\approx7$ y $e^3\approx 20$ entonces $e^{2.5}\approx\sqrt{7*20}=\sqrt{140}\approx12$ . Así que $\ln(7 - 4 \sqrt3)\approx-2.5$ . Así que $\frac{-1}{6} \ln(7 - 4 \sqrt3)\approx.416$

Por lo tanto, el total es $\approx1.15+.416\approx1.6$ .