Pregunta sobre la inclusión de la ortogonal de subespacios

Question

Dejemos que $\{v_1, . . . , v_k \}$ sea el conjunto ortogonal generado en el curso de aplicar el proceso de Gram-Schmidt a una base, y definir $S_j = span\{v_1, . . . , v _j \}$ para $j = 1, . . . , k$

(a) Demuestre que si $i < j$ entonces $S_i$ es un subespacio de $S_ j$ .

(b) Demuestre que si $i < j$ entonces $S_j^{\perp}$ es un subespacio de $S_i^{\perp}$ donde $S_i^{\perp}$ y $S_j^{\perp}$ es el conjunto de todos los vectores ortogonales a los respectivos $S_i$ o $S_j.$

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Lo que he hecho hasta ahora:

Traté de probar la parte a probando $S_i$ es un subespacio de $S_j$ mostrando las 3 propiedades de los subespacios.

1) El vector 0 está en ambos porque se puede reescribir el tramo con todos los coeficientes 0 lo que da como resultado 0

2) 2 vectores r y t en $S_i$ , cuando se añaden están en $S_i$ así como $S_j$

3) Un vector r en $S_i$ cuando se multiplica por cualquier constante, sigue estando en $S_i$ así como $S_j.$

No estoy seguro de cómo progresar realmente a partir de aquí. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Comience por demostrar que $S_j^\perp$ es un subconjunto de $S_i^\perp$ . Para ello, dejemos que $v\in S_j^\perp$ . Entonces, por definición $\langle v,v_\ell\rangle = 0$ para todos $\ell = 1,\ldots,j$ . Desde $i < j$ se deduce que $v\in S_i^\perp$ . Así, $S_j^\perp\subset S_i^\perp$ . Ahora puedes utilizar argumentos similares para demostrar que $S_j^\perp$ es un subespacio de $S_i^\perp$ verificando que

1. $0\in S_j^\perp$
2. Si $u,v\in S_j^\perp$ entonces $u + v \in S_j^\perp$ .
3. Si $v\in S_j^\perp$ y $\alpha$ es un escalar, entonces $\alpha v \in S_j^\perp$ .