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Pregunta sobre la inclusión de la ortogonal de subespacios

Dejemos que {v1,...,vk}{v1,...,vk} sea el conjunto ortogonal generado en el curso de aplicar el proceso de Gram-Schmidt a una base, y definir Sj=span{v1,...,vj}Sj=span{v1,...,vj} para j=1,...,kj=1,...,k

(a) Demuestre que si i<ji<j entonces SiSi es un subespacio de SjSj .

(b) Demuestre que si i<ji<j entonces SjSj es un subespacio de SiSi donde SiSi y SjSj es el conjunto de todos los vectores ortogonales a los respectivos SiSi o Sj.Sj.


Lo que he hecho hasta ahora:

Traté de probar la parte a probando SiSi es un subespacio de SjSj mostrando las 3 propiedades de los subespacios.

1) El vector 0 está en ambos porque se puede reescribir el tramo con todos los coeficientes 0 lo que da como resultado 0

2) 2 vectores r y t en SiSi , cuando se añaden están en SiSi así como SjSj

3) Un vector r en SiSi cuando se multiplica por cualquier constante, sigue estando en SiSi así como Sj.Sj.

No estoy seguro de cómo progresar realmente a partir de aquí. Se agradece cualquier ayuda.

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K. Miller Puntos 1448

Comience por demostrar que SjSj es un subconjunto de SiSi . Para ello, dejemos que vSjvSj . Entonces, por definición v,v=0v,v=0 para todos =1,,j=1,,j . Desde i<ji<j se deduce que vSivSi . Así, SjSiSjSi . Ahora puedes utilizar argumentos similares para demostrar que SjSj es un subespacio de SiSi verificando que

  1. 0Sj0Sj
  2. Si u,vSju,vSj entonces u+vSju+vSj .
  3. Si vSjvSj y αα es un escalar, entonces αvSjαvSj .

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