Mayor crecimiento asintótico para $2f(x)-f(2x)$

Question

Estoy tratando de encontrar funciones suaves $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ tal que la cantidad $$\Delta_f(x) := 2f(x)-f(2x)$$ es positivo para $x$ suficientemente grande y tiene la mayor crecimiento asintótico .

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Parece claro que no se puede ir más allá de un crecimiento lineal, ya que $\Delta_f$ desaparece para las funciones lineales y probablemente será negativa para las superlineales. Sin embargo, se pueden construir muchos ejemplos de crecimientos asintóticos casi lineales.

Por ejemplo, al enchufar $f(x) := x^a$ para algunos $a\in(0,1)$ rinde $\Delta_f(x) = (2-2^a) x^a$ .

Elección de $f(x) := \frac{x}{\ln x}$ rinde $\Delta_f(x) \sim 2 \ln 2 \frac{x}{(\ln x)^2}$ que tiene un mayor crecimiento asintótico.

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¿Cuáles serían sus candidatos para crecimientos asintóticos aún mayores? ¿Y hay alguna manera de demostrar un límite superior (sublineal) a priori de $\Delta_f$ ?

Answer 1

Discretizamos el problema fijando $a_n=2^{-n}f(2^n)$ , $b_n=2^{-n-1}\Delta_f(2^n)$ . Entonces su relación se convierte en, $$b_n=a_n-a_{n+1}.$$ desde $a_n,b_n$ son no negativos, concluimos que $$\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty.$$ Esta es una condición necesaria y suficiente. En efecto, tomemos cualquier secuencia sumable $b_n$ de números positivos, entonces podemos definir $$a_n=\sum_{k=n}^\infty b_k$$ como la secuencia de sumas parciales, y obtener su ecuación sobre la secuencia $x_n=2^n$ . A continuación, puede interpolar eligiendo $f(x)$ arbitrariamente en el intervalo $(1,2)$ .

Volviendo a su notación original, la condición de crecimiento se convierte en $$\int\frac{\Delta_f(x)}{x^2}dx<\infty.$$ Esta es una condición necesaria y suficiente. Por ejemplo, no podemos tener $\Delta_f(x)\sim x/\log x$ pero puede tener $$\Delta_f(x)\sim\frac{x}{\log x(\log\log x)^{1+\epsilon}},$$ y así sucesivamente.