La clasificación de los grupos de Lie conectados es la siguiente: todo grupo de Lie conectado $G$ tiene un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ que determina la clase de isomorfismo de su cubierta universal $\widetilde{G}$ . Hay un mapa de cobertura
$$1 \to \pi_1(G) \to \widetilde{G} \to G \to 1$$
exponiendo $G$ como cociente de $\widetilde{G}$ por el grupo fundamental $\pi_1(G)$ que resulta ser un subgrupo discreto del centro $Z(\widetilde{G})$ de $\widetilde{G}$ . Así, $G$ se clasifica por el par formado por el grupo de Lie simplemente conectado $\widetilde{G}$ junto con una elección particular de subgrupo discreto $\pi_1(G)$ del centro $Z(\widetilde{G})$ .
En este caso, todos los grupos de Lie que describe tienen la misma cobertura universal, a saber $Spin(4) \cong SU(2) \times SU(2)$ . El centro de este grupo es $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ (una $\mathbb{Z}_2$ sentado en cada copia de $SU(2)$ ) y así podemos clasificar todos los grupos de Lie con esta cobertura universal clasificando todos los subgrupos de este centro (que son todos discretos). Son los siguientes:
- El subgrupo trivial $1$ . El cociente por esto es simplemente $Spin(4) \cong SU(2) \times SU(2)$ .
- $\mathbb{Z}_2 \times 1$ . El cociente por esto es $SO(3) \times SU(2)$ .
- $1 \times \mathbb{Z}_2$ . El cociente por esto es $SU(2) \times SO(3)$ .
- El diagonal copia de $\mathbb{Z}_2$ . El cociente por esto es $SO(4)$ .
- $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ . El cociente por esto es $SO(3) \times SO(3)$ .
Entonces, todo lo que escribiste está básicamente bien, excepto que en la tercera línea es ambiguo lo que quieres decir con $\mathbb{Z}_2$ . El $\mathbb{Z}_2$ que quieres es la diagonal, no la "izquierda" o "derecha" de arriba.
