$F(\alpha,\beta)$ coincide con $F[\alpha,\beta]$ .

Question

Dejemos que $\alpha$ , $\beta$ sea algebraico sobre $K$ . Mostrar el anillo $K[\alpha,\beta]$ coincide con el campo $K(\alpha,\beta)$ .

Answer 1

Propuesta : Dejemos que $L | K$ sea una extensión de campo algebraico, entonces todo anillo intermedio $ L \supset R \supset K$ es un campo.

Prueba : Dejemos que $ L \supset R \supset K$ sea un anillo intermedio y $x \in R$ , $x \neq 0$ , entonces como $x \in L$ , $x$ es algebraico sobre $K$ tenemos una ecuación polinómica $0=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \dots +a_1x+a_0$ con $a_i \in K$ Podemos suponer que $a_0 \neq 0$ si no, dividir por una potencia adecuada de $x$ . Entonces tenemos $1=\frac{a_nx^n+\dots+a_1x}{-a_0}$ Así que $x^{-1} = \frac{a_nx^{n-1}+\dots+a_2x+a_1}{-a_0} \in R$ . Como $x$ era arbitraria, $R$ es el campo.

Ahora demostramos que $K[\alpha,\beta]= K(\alpha, \beta)$ : Como $K(\alpha, \beta)$ está generado por elementos algebraicos sobre $K$ , $K(\alpha,\beta) | K$ es una extensión algebraica. Ahora $K(\alpha,\beta) \supset K[\alpha,\beta] \supset K$ es un anillo intermedio, así que por la proposición $K[\alpha,\beta]$ es un campo. Así, $K[\alpha,\beta]$ es igual a su propio campo de fracciones, que es $K(\alpha,\beta)$ .

Answer 2

Esto resulta de este lema muy simple del álgebra conmutativa:

Dejemos que $K$ ser un campo. Si un campo finito $K$ -Álgebra $S$ es un dominio integral, $S$ es un campo.

En efecto, dejemos que $s\ne 0$ sea un elemento de $S$ . Multiplicación $S$ es un $K$ -endomorfismo lineal de $S$ que es inyectiva ya que $S$ es un dominio integral. Ahora, en espacios vectoriales de dimensión finita, los endomorfismos inyectivos son biyectivos.

Por lo tanto, $1$ se alcanza, es decir, existe un elemento $s'\in S$ tal que $ss'=1$ . En otras palabras, cualquier elemento no nulo en $S$ tiene un inverso.