Topología abierta compacta en $\mathrm{Homeo}(X)$

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos. Definir la topología abierta compacta sobre el conjunto $\mathrm{M}(X,Y)$ de mapas continuos de $X$ a $Y$ a través de la subbase $[K,O]$ de todos los mapas $f:X\rightarrow Y$ s.t. $f(K)\subset O$ , donde $K$ es cualquier subconjunto compacto de $X$ y $O$ es cualquier subconjunto abierto de $Y$ . Así que una base de conjuntos abiertos está dada por los siguientes subconjuntos: $[K_1,\dots,K_n,O_1,\dots,O_n]=[K_1,O_1 ]\cap\dots\cap [K_n,O_n]$ la colección de mapas continuos $f:X\rightarrow Y$ que envían cada $K_i$ en $O_i$ para una determinada colección de compactos $K_i$ y abrir $O_i$ 's.

Esta topología tiene algunas buenas propiedades: la ley exponencial se cumple bajo algunas hipótesis sobre los espacios $X$ y $Y$ y es ciertamente cierto si todos los espacios implicados son espacios de Hausdorff localmente compactos, como será el caso a partir de ahora.

Mi pregunta es la siguiente: si $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto (o incluso un colector topológico), la topología abierta compacta induce una topología sobre el conjunto de homeomorfismos de $X$ que es un grupo. ¿Esta topología convierte $\mathrm{Homeo}(X)$ en un grupo topológico? Puedo demostrar que el producto (composición) es continuo, pero ¿lo es también la inversa? $(f\rightarrow f^{-1})$

Pude demostrar la continuidad para espacios compactos, donde es muy fácil de establecer. También conseguí demostrarla para $X=\mathbb{R}$ porque todos los homeomorfismos de $\mathbb{R}$ son monótonos, pero eso es todo hasta ahora.

He intentado buscarlo en varios libros de texto de topología y topología algebraica en los que se suele hablar de la topología C.O., pero no he podido encontrar una discusión sobre este tema en ningún sitio.

Answer 1

El siguiente artículo le ofrece mucha información sobre la pregunta que plantea:

Sobre los grupos de homeomorfismo y la topología compacta-abierta, Jan J. Dijkstra

http://www.cs.vu.nl/~dijkstra/research/papers/2005compactopen.pdf

http://www.jstor.org/pss/30037630

La respuesta es, en general, "no".

Answer 2

Para un contraejemplo sencillo, sea X el subespacio de R formado por 0 y exp(n) para todos los enteros n, y considere los homeomorfismos $f_n$ de X definido por $f_n(0) = 0$ , $f_n(\exp(k)) = \exp(k-1)$ para $k \le -n$ o $k > n$ , $\exp(k)$ para $-n < k < n$ , y $\exp(-n)$ para $k = n$ . Entonces $f_n$ converge al mapa de identidad en la topología compacta-abierta pero $f_n^{-1}$ no lo hace: $f_n^{-1}$ no está en la vecindad del mapa de identidad dado por $K = X \cap [0, 1]$ y $U = X \cap (-1, 2)$ para cualquier $n \ge 1$ porque $\exp(-n) \in K$ y $f_n^{-1}(\exp(-n)) = \exp(n) \notin U$ .

Answer 3

R. Arens, Topologías para grupos de homeomorfismo , Amer. J. Math. 68 (1946) 593-610.

Si $X$ es localmente compacto y conectado localmente (!), entonces $\mathrm{Homeo}(X)$ es un grupo topológico.

Answer 4

No sé si esto ayuda, pero podrías considerar el conjunto $[K,O]'$ de todos los mapas $f\in Homeo(X)$ tal que $f(K)\subset O$ y $f^{-1}(K)\subset O$ . Con los conjuntos $[K,O]'$ como una subbase de vecindades de la identidad, $Homeo(X)$ se convierte en un grupo topológico, si $X$ es una zona compacta $T_3$ -espacio. Esta topología se llama topología de Braconnier. Coincide con la topología abierta compacta siempre que $X$ es compacto, o localmente conectado. En general, es más fuerte que la topología abierta compacta.

Desgraciadamente, no conozco ninguna referencia para estos hechos, excepto los apuntes de las conferencias de 1982/83 del profesor Holdgruen sobre el análisis armónico (en una estantería de la biblioteca del instituto de matemáticas de Goettingen), porque lo aprendí en mis cursos de licenciatura y no en los libros.