Evaluación de $\int^{\infty}_{-\infty}{\frac{\cos x}{x^2+a^2}}$

Question

Estoy trabajando en algunos problemas de análisis complejos relacionados con los polos y los residuos. Me gustaría que alguien pudiera resolver el siguiente problema. No es un problema de HW, sino uno que he sacado de un libro de análisis complejo. Los pocos problemas que he visto trabajados tienen pocos detalles y explicaciones, por lo que agradecería que alguien me guiara por este problema para poder intuir cómo resolver problemas similares. Necesito evaluar para $a>0$

$$\int^{\infty}_{-\infty}{\frac{\cos x}{x^2+a^2}}.$$

El libro, que tengo, proporciona una respuesta de $\pi \frac{e^{-a}}{a}$ . Creo que debería mirar $\frac{e^{iz}}{x^2+a^2}$ en un círculo o semicírculo alrededor del origen, pero a partir de ahí no sé qué hacer. Además, ¿por qué $a>0$ asunto. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Definir

$$f(z):=\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\;,\;\;C_R:=[-R,R]\cup\gamma_r:=\{z\in\Bbb C\;;\;z=Re^{it}\;,\;0<t<\pi\}$$

En $\;C_R\;,\;\;f\;$ tiene un único polo simple, con residuo

$$\text{Res}_{z=ai}(f)=\lim_{z\to ai}(z-ai)f(z)=\lim_{z\to ai}\frac{e^{iz}}{z+ai}=\frac{e^{-a}}{2ai}$$

Así, por el Teorema de Cauchy:

$$2\pi i\frac{e^{-a}}{2ai}=\frac\pi{ae^a}=\oint\limits_{C_R}f(z)dz=\int\limits_{-R}^R\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx+\int\limits_{\gamma_R}f(z)dz$$

Bien, ahora sólo hay que demostrar que la segunda integral converge a cero cuando $\;R\to \infty\;$ (por ejemplo, aplicar el Lemma de Jordan o directamente el teorema de la estimación), y tomar el límite con la parte real de...