Encuentre todos $a, b, c, d$

Question

Encuentre todos $a, b, c, d$ satisfaciendo $$\frac{x^4+ax^3+bx^2-8x+4}{(x^2+cx+d)^2} = 1$$

Mis respuestas son:

$$\begin{cases} d=2\\ d=-2 \end{cases} \quad \begin{cases} a=4\\ a=-4 \end{cases} \quad \begin{cases} c=2\\ c=-2 \end{cases} \quad \begin{cases} b=8\\ b=0 \end{cases}$$ ¿Está bien?

Answer 1

Se puede escribir como $x^4+ax^3+bx^2-8x+4=(x^2+cx+d)^2$ que quieres que sea verdad para todos $x$ . Esto requiere que los coeficientes de cada potencia coincidan. Debes ampliar el cuadrado de la derecha y hacer coincidir los coeficientes. Esto le dará a cada uno de $a,b,c,d$

Answer 2

Para tener otra perspectiva:

Dejemos que $r_1, r_2, r_3, r_4$ sean los ceros de $$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 8x + 4.$$ Desde $$x^4 + ax^3 + bx^2 - 8x + 4 = (x^2 + cx + d)^2,$$ $r_1, r_2, r_3, r_4$ son también los ceros de $$g(x) = (x^2 + cx + d)^2.$$ Utilizando la fórmula cuadrática, obtenemos (sin pérdida de generalidad) que $$r_1 = r_2 = \dfrac{-c - \sqrt{c^2 - 4d}}{2}$$ y $$r_3 = r_4 = \dfrac{-c + \sqrt{c^2 - 4d}}{2}.$$

Ahora, tenemos las ecuaciones $$4 = {r_1}\cdot{r_2}\cdot{r_3}\cdot{r_4}$$ $$-(-8) = {r_1}{r_2}{r_3} + {r_1}{r_2}{r_4} + {r_1}{r_3}{r_4} + {r_2}{r_3}{r_4}$$ $$b = {r_1}{r_2} + {r_1}{r_3} + {r_1}{r_4} + {r_2}{r_3} + {r_2}{r_4} + {r_3}{r_4}$$ $$-a = r_1 + r_2 + r_3 + r_4,$$ que luego se puede resolver para $a, b, c, d$ .

En particular, desde $$4 = {r_1}\cdot{r_2}\cdot{r_3}\cdot{r_4}$$ obtenemos $$4 = \left(\dfrac{c^2 - (c^2 - 4d)}{4}\right)^2 = \left(\dfrac{4d}{4}\right)^2 \iff 4 = d^2 \iff d = \pm 2.$$

Dejo los demás cálculos como ejercicio para el lector interesado. =)