Probar los Logaritmos

Question

Estoy tratando de averiguar cómo probar esta afirmación:

$$n^{\log(a)} = a^{\log(n)}$$

Me dicen que no puedo probar de ambos lados. He intentado $\log$ el primer lado a conseguir:

$\log(n)\log(a)$

Pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí, cualquier idea sería muy apreciada.

Answer 1

No estoy seguro de que se pueda utilizar, pero es bien sabido que

$$x^y = e^{(\ln x)y}$$

donde $\ln$ es el logaritmo natural y $e$ es la constante de Eulers. Sólo aplica esto.

Answer 2

Podemos hacer una simple manipulación para obtener el resultado. Podemos tomar un logaritmo y exponenciar el lado izquierdo:

$$n^{\log(a)}=e^{\log(n^{\log(a)})}=e^{\log(a)\log(n)}=e^{\log(n)\log(a)}=e^{\log(a^{\log(n)})}=a^{\log(n)}.$$

Answer 3

Supongamos que $n=a^x$ entonces $\log n=x\log a$ tomando registros.

Entonces, por sustitución, $n^{\log a}=(a^x)^{\log a}=\dots$

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Cómo encontrar el método - pues se empieza por $n$ a algún poder, y quieres terminar con $a$ a algún poder, por lo que es natural expresar $n$ como un poder de $a$ y una vez hecho esto, el resultado se cae.