Pregunta sobre consejos de cálculo

Question

¿Para qué valores de $c$ es la función:

$$f(x)= \begin{cases}(cx-1)^3 &\text{ if } x>2\\ c^2x^2-1& \text{if } x\le 2 \end{cases}$$ ¿constante en cada número?

¿Puede alguien ayudarme con esta pregunta? No tengo ni idea de por dónde empezar o qué hacer. ¿Puede alguien guiarme, por favor?

Answer 1

Sugerencia los límites izquierdo y derecho en $x=2$ debe ser el mismo: $$\lim_{x\to 2_-}f(x) = \lim_{x\to 2_+}f(x)$$

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Así que: $$ (2c-1)^3 = 4c^2-1 \implies c\in\{0,{1\over 2},{3\over 2}\}$$

Answer 2

Es evidente que ambos casos de la función $f(x)$ son polinomios que no causan problemas en el contexto de la continuidad. Así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar el valor de $c$ tal que el límite izquierdo y el derecho son iguales en $x=2$ .

$$\lim_{x\to 2^-}(cx-1)^3=\lim_{x\to 2^+}(c^2x^2-1)$$ $$ \begin{align*}(2c-1)^3=4c^2-1 \\ 8c^3-1-6c(2c-1)=4c^2-1\end{align*} \\ c(4c^2-8c+3)=0$$

Se trata de un simple cúbico con un $c$ multiplicado por una cuadrática en $c$ . Utiliza la fórmula cuadrática para encontrar los ceros y utiliza esa $c=0$ también y ya está.