Estoy intentando aprender sobre los polinomios de Thom y a menudo encuentro argumentos en la literatura que no tienen ningún sentido para mí. Quizá se deba a mi falta de conocimientos en $K$ - teoría. Pido disculpas por lo extenso del post, pero quizás alguien sepa bien estas cosas.
Dejemos que $P := \mathbb{C}P^n$ , $N := \mathbb{C}P^{n*}$ y establecer $X := P\times N$ . Denote por $p_1:X\rightarrow P$ y $p_2: X\rightarrow N$ las proyecciones naturales. Sea $V = \mathbb{V}(F)\subset P$ sea una hipersuperficie de grado $d$ y $H = \{(x,a^*)\in P\times N:\text{ }a^*(x) = 0\}$ sea la variedad de incidencia de puntos y líneas en $P$ . De hecho, $H$ puede realizarse como el conjunto cero (esquema cero) de una sección del haz de líneas $p_1^*\mathcal{O}_P(1)\otimes p_2^*\mathcal{O}_N(1)$ en $X$ .
Además, el polinomio $F$ define una sección del haz de líneas $p_1^*\mathcal{O}_P(d)$ en $X$ . Por lo tanto, existe una sección inducida del rango $2$ haz de vectores $E =p_1^*\mathcal{O}_P(d)\oplus (p_1^*\mathcal{O}_P(1)\otimes p_2^*\mathcal{O}_N(1))$ en $X$ . Su conjunto cero (esquema cero) es la subvariedad $M :=\{ (x,a^*)\in V\times N:\text{ }a^*(x) =0\}$ es decir, la variedad de incidencia de los puntos en $V$ y líneas en $P$ .
Definir $f:M\rightarrow N$ componiendo $p_2:X\rightarrow N$ con la inclusión $i:M\hookrightarrow X$ es decir $f = p_2\circ i$ . Estoy interesado en calcular la clase total de Chern $c(f^*TN-TM)$ , donde $f^*TM-TN$ es el bulto virtual que vive en el $K$ - grupo de $M$ .
El reclamo es: $$TM = i^*(TX-E)\text{ and hence } f^{*}TN - TM = i^{*}(E - p_1^*TP).$$
Me parece que se trata de cálculos estándar en $K$ - grupos pero no lo entiendo.
