Estoy viendo la prueba de que si $f$ es una función de Scwhartz, es decir, $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ entonces la transformada de Fourier de $-2\pi ixf(x)$ es $\frac{d}{d\xi} \hat{f}(\xi)$ .
Para la prueba, dejemos que $\epsilon >0$ y considerar $$\frac{\hat{f}(\xi +h)-\hat{f}(\xi)}{h}-(\widehat{-2\pi ixf})(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\xi}\Big[\frac{e^{-2\pi ixh}-1}{h}+2\pi ix\Big] dx.$$
Tengo una pregunta sobre el paso en la prueba adjunta a continuación. En la prueba, hacemos $$\int_{|x|\ge N}\Big|f(x)e^{-2\pi ix\xi}\Big[\frac{e^{-2\pi ixh}-1}{h}+2\pi ix\Big]\Big|dx \le C\epsilon.$$ Para mostrar esto creo que los autores pretenden dividir esto en dos integrales, así $\int_{|x|\ge N}\Big|f(x)e^{-2\pi ix\xi} 2\pi ix\Big|dx\le 2\pi \epsilon$ y $\int_{|x|\ge N}\Big|f(x)e^{-2\pi ix\xi}\frac{e^{-2\pi ixh}-1}{h}\Big|dx\le C'\epsilon.$ Sin embargo, no sé cómo acotar la segunda integral utilizando $\int_{|x|\ge N} |f(x)|dx \le \epsilon$ ya que aquí tenemos $\Big|\frac{e^{-2\pi ixh}-1}{h}\Big|\le \frac{2}{|h|}$ y $|h|$ se supone que es pequeño, por lo que esta parte no tiene límites. Entonces, ¿cómo podemos tratar esta fracción cuando $|x|\ge N$ para acotar la integral como en la prueba de abajo? Agradecería mucho cualquier ayuda.
