distribución de 101 monedas a tres amigos

Question

De cuántas maneras podemos distribuir 101 monedas a tres amigos de forma que la suma de las monedas de dos amigos sea mayor o igual que el número de monedas del tercer amigo. mi opinión:¿debo distribuir 50 y luego 51 ,52 monedas ....hay alguna forma elegante por favor guíen

Answer 1

$$ x+y+z=101 $$ $$ x+y \geq z \quad x+z \geq y \quad y+z \geq x $$ $$ x+y= 101-z \geq z \rightarrow z\leq 50 $$ $$ x+z= 101-y \geq y \rightarrow y\leq 50 $$ $$ y+z= 101-x \geq x \rightarrow x\leq 50 $$

$$ x = 50 - u \quad y = 50 - v \quad z = 50 - w $$ $$ (50 - u) + (50 - v) + (50 - w) = 101 $$ $$ u + v + w = 49 \Rightarrow 0 \leq u + v = 49 - w \leq 49 $$ $$ u+v = i : \{0\leq i \leq 49\} $$

$$ u+v = i \rightarrow (u = 0, v = i) \dots (u=i, v=0) \Rightarrow i+1 \mbox{ways} $$

$$ \sum_{i=0}^{49}i+1 = 1275 $$