¿La serie $\sum_\limits{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^a-n^a}{(n+1)^a} \ n\in \mathbb N, a>0$ ¿siempre divergen?

Question

¿La serie siguiente siempre es divergente?

$$\sum_\limits{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^a-n^a}{(n+1)^a} \ n\in \mathbb N, a>0$$

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$(n+1)^a-n^a=n^a(1+1/n)^a-n^a=n^a(1+a/n+a(a-1)/n^2+...)-n^a=an^{a-1}+a(a-1)n^{a-2}+...$$

entonces

$$\frac{((n+1)^a-n^a)}{(n+1)^a}\sim \frac a n+a(a-1)n^{-2}+...$$

por lo que la serie dada diverge por la prueba de comparación de límites con $\sum \frac1n$ .

Answer 2

Por el teorema del valor medio, $(n+1)^a-n^a =ax^{a-1}$ donde $n < x < n>1$ . Por lo tanto, cada término es al menos $an^{a-1}/(n+1)^a \approx a/n$ desde $(1+1/n)^a \to 1$ . La suma de estos diverge.