Es $k = \frac{-h}{2x(x+h)}$ ¿Invertible?

Question

Me dicen que calcule $\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\sin\frac{-h}{2x(x+h)}$ donde $k$ se establece en $\frac{-h}{2x(x+h)}$ para que podamos calcular $\lim_{k \to 0} \frac{-2xk+ 1}{2x^2k}\sin k$ . Ahora, ya no tenemos la $h$ en el denominador. Me dicen que la transformación de la función $k$ a $h = \frac{-2x^2k}{2xk +1}$ se supone que es biyectiva. Me gustaría saber cómo se puede demostrar que esta transformación es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

También $x$ se trata como una constante.

Answer 1

Supongamos que $x$ es una constante no nula. Si definimos $k$ en función de $h$ por $$ k = \frac{-h}{2x(x+h)}, $$ entonces la inversa (que obtenemos al resolver una ecuación lineal) muestra $h$ en función de $k$ : $$ h = \frac{-2kx^2}{2kx+1} $$

explicación de la ecuación lineal $$ k = \frac{-h}{2x(x+h)}\tag{1} $$

$$ 2x(x+h)k = -h \\ 2x^2k+2xhk = -h \\ 2xhk+h=-2x^2k $$

$$ (2xk+1)h=-2x^2k\tag{2} $$ una ecuación lineal en $h$ .