Probabilidad de aprobar un examen después de n pruebas suponga que estaba en clase

Question

El 80% de los alumnos acudieron a las clases de un curso. Si un alumno acudiera a las clases, aprobaría un examen en un 85% y si no acudiera a las clases, aprobaría en un 50% de tiempo (Un alumno intenta hacer un examen hasta que lo aprueba a la primera). Supongamos que un alumno aprueba después de n pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido a las clases?

Si escribimos los detalles definiendo $A-\text{Student came to lectures} B_i\text{-Student passed ith test}$ : $P(A)=0.8,P(B_i\mid A)=0.85,P(B_i\mid A^c)=0.5$ y tenemos que encontrar $P(A\mid B_n)=\frac{P(A\cap B_n)}{P(B_n)}$ . el contador tiene una distribución geométrica por lo que se llama es igual a $0.15^{n-1}\cdot 0.85$ (n-1 fracasos y 1 éxito). El denominador puede expresarse como $P(B_n)=P(B_n\cap A)+P(B_n\cap A^c)$ . A partir de nuestros datos podemos decir que $P(B_n\cap A)=0.85\cdot 0.8$ y $P(B_n\cap A^c)=0.5\cdot0.2$ . A continuación $$P(B_i)=0.78\Rightarrow P(B_n\mid A)\frac{0.15^{n-1}\cdot 0.85}{0.78}=1.0897\cdot 0.15^{n-1}$$ Lo cual es incorrecto ya que si sustituimos por ejemplo $n=1$ obtenemos una probabilidad mayor que 1 (y para $n\ge 2$ sólo obtenemos probabilidades incorrectas en comparación con la ley de Bayes). ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Te sugiero que uses la regla de Bayes: \begin{align*} &\,\mathbb{P}(A\,|\,\text{failed $n-1$ times, passed for the $n$th})\\=&\,\frac{\mathbb{P}(\text{failed $n-1$ times, passed for the $n$th}\,|\,A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(\text{f. $n-1$ times, p. for the $n$th}\,|\,A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(\text{f. $n-1$ times, p. for the $n$th}\,|\,A^c)\mathbb{P}(A^c)}\\ =&\,\frac{0.15^{n-1}\times0.85\times0.8}{0.15^{n-1}\times0.85\times0.8+0.5^n\times0.2}\approx\frac{1}{1+0.04412\times3.3333^n}, \end{align*} asumiendo que los resultados sucesivos son independientes condicionados por la participación en la clase. (Sin embargo, esta es probablemente una suposición fuerte).

El problema de tu planteamiento parece ser que confundes conceptualmente las probabilidades conjuntas y las probabilidades condicionales. Las interpretaciones intuitivas de la corrección son las siguientes: \begin{align*} \mathbb{P}(A\cap B)=&\,\text{prob. that}\textbf{ both }\text{$A$}\textbf{ and }\text{$B$ occur,}\\\mathbb{P}(A\,|\,B)=&\,\text{prob. that $A$ occurs} \textbf{ if } \text{$B$ has occurred.} \end{align*} Estas dos nociones están estrechamente relacionadas, pero no son equivalentes.

En particular, $\mathbb{P}(A\cap B_n)$ (usando su notación) no es $0.15^{n-1}\times0.85$ pero $$\mathbb{P}(A\cap B_n)=\mathbb P(B_n\,|\,A)\mathbb P(A)=0.15^{n-1}\times 0.85\times 0.8.$$ También, $$\mathbb P(B_n\cap A^c)=\mathbb P(B_n\,|\,A^c)\mathbb P(A^c)=0.5^{n-1}\times0.5\times0.2.$$ Con estos cálculos, obtendrás el resultado correcto.