¿Qué significa que los elementos sean algebraicamente independientes?

Question

La definición de Wikipedia:

"En álgebra abstracta, un subconjunto S de un campo L es algebraicamente independiente sobre un subcampo K si los elementos de S no satisfacen ninguna ecuación polinómica no trivial con coeficientes en K".

La definición de mi libro de texto:

"Sea A un subring del anillo conmutativo B. Decimos que los elementos $b_1, . . . , b_n$ de B son algebraicamente independientes sobre A si el mapa de evaluación $_{b_1,...,b_n} : A[X_1, . . . , X_n] B$ que evalúa cada $X_i$ en $b_i$ es inyectiva".

Estoy un poco confundido sobre cómo se relacionan estas dos definiciones. Creo que la definición de wikipedia es más clara, pero no estoy seguro de cómo se relaciona con la definición del libro de texto. En otras palabras, ¿por qué estamos mirando este mapa de evaluación para entender la definición de independencia algebraica?

Gracias de antemano

Answer 1

El mapa de evaluación en un punto $(b_1,\ldots,b_n)\in B^n$ toma un polinomio $f(x_1,\ldots,x_n)\in A[x_1,\ldots,x_n]$ a su valor en el punto: $f(b_1,\ldots,b_n)\in B$ . Es evidente que el polinomio cero se asignará a cero, pero si el $b_i$ son algebraicamente independientes por la primera definición, entonces sólo el polinomio cero mapeará a cero, haciendo que el mapa de evaluación sea inyectivo.

Answer 2

Los dos son equivalentes. Supongamos que $b_1,\ldots,b_n$ no son algebraicamente independientes según la definición de su libro de texto, por lo que tenemos algún polinomio no nulo $f(X_1,\ldots,X_n)\in A[X_1,\ldots,.X_n]$ que el mapa de evaluación envía a $0$ . Esto significa que $f(b_1,\ldots,b_n)=0$ es decir, los elementos $b_1,\ldots,b_n$ satisfacen algunas ecuaciones polinómicas no triviales con coeficientes en $A$ . La otra dirección es similar.

Answer 3

El núcleo del homomorfismo de evaluación es el ideal $\rm\,I\,$ de relaciones polinómicas (sobre $\rm\:A)\:$ entre los $\rm\:b_i,\:$ es decir, el conjunto de polinomios con coeficientes en $\rm\:A\:$ tal que $\rm\:f(b_1,\ldots,b_n)\, =\, 0.\:$ Por lo tanto, el mapa de evaluación es inyectivo si el núcleo $\rm\:I = 0,\:$ es decir, si no existen relaciones polinómicas no nulas ( $\rm A$ -dependencias algebraicas) entre los $\rm\:b_i.$ Cuando esto es cierto, entonces $\rm\:A[b_1,\ldots,b_n]\cong A[x_1,\ldots,x_n],\:$ así que $\rm\:b_i\:$ son indeterminados independientes (trascendentales) sobre $\rm\:A.$