¿Es el determinante de una matriz menor cuando todos sus elementos son menores?

Question

Problema

Consideremos una matriz genérica $A$ vamos a pensar en un caso sencillo tomando en consideración un $3 \times 3$ matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{pmatrix} $$

Considere la posibilidad de tener ahora $A'$ como:

$$ A' = \begin{pmatrix} a'_{1,1} & a'_{1,2} & a'_{1,3}\\ a'_{2,1} & a'_{2,2} & a'_{2,3}\\ a'_{3,1} & a'_{3,2} & a'_{3,3}\\ \end{pmatrix} $$

Se mantiene lo siguiente:

$$a'_{i,j} \leq a_{i,j}$$

Pregunta

Me gustaría saber si lo siguiente:

$$|A'| \leq |A|$$

Si se mantiene, ¿puede demostrarlo?

Otro problema

¿Y si consideramos:

$$ a_{i,j} \leq 1, a'_{i,j} \leq 1 $$

Teniendo en cuenta también que $A$ es una matriz estocástica?

Esto no significa que ambos $A$ y $A'$ son estocásticos. Estoy considerando $A$ estocástico y $A'$ obtenido como una versión reducida de $A$ para que $A'$ no es estocástico sino que sus valores están todos entre 0 y 1.

Answer 1

La afirmación es falsa. Por ejemplo $$A' = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$A = \begin{pmatrix}2 & 2 & 2\\2 & 2 & 2\\2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Claramente, $A'_{ij} \leq A_{ij}$ mientras que $$\det(A') = 1 > 0 \det(A)$$

EDITAR

Si $A$ y $A'$ son ambas matrices estocásticas, entonces $A'_{ij} \leq A_{ij}$ nos da $A'_{ij} = A_{ij}$ desde $$1 = \displaystyle \sum_{j=1}^{3} A'_{ij} \leq \sum_{j=1}^{3} A_{ij} = 1, \,\forall i \in \{1,2,3\}$$

EDITAR

Si $A$ es estocástica, pero $A'$ no es estocástico, entonces también es falso. Por ejemplo, $$A = \begin{pmatrix}\frac13 & \frac13 & \frac13\\\frac13 & \frac13 & \frac13\\\frac13 & \frac13 & \frac13 \end{pmatrix}$$ y $$A' = \begin{pmatrix}\frac13 & 0 & 0\\0 & \frac13 & 0\\0 & 0 & \frac13 \end{pmatrix}$$

Answer 2

Esto es falso. Dejemos que $A$ sea la matriz cuyas entradas son todas iguales a $2$ y $A'$ sea la matriz identidad. Nótese que $\det(A) = 0$ ya que sus columnas son linealmente dependientes, mientras que $\det(A') = 1$ .