Stirling número segundo tipo, $S(n, n-3) = \frac{n(n-1)(n-2)^2(n-3)^2}{48}$

Question

Cómo demostrar que $S(n, n-3) = \frac{n(n-1)(n-2)^2(n-3)^2}{48}$ .

Quiero ir por el camino de la combinatoria. Ya he visto esta pregunta ( Encuentre una fórmula cerrada para el número de stirling $S(n, n-3)$ para n $\ge$ $3$ ) pero no lo entiendo.

Está claro que hay...

1. caso: 4 elementos en la primera caja
2. caso: 3 elementos en la primera caja, 2 en la segunda
3. caso: 2 elementos en la primera caja, 2 en la segunda y 2 en la tercera.

Tengo claro que 1. caso es $\binom{n}{4}$ Pero, ¿por qué, por ejemplo, el caso 3. $\frac{1}{6} \binom{n}{2} \binom{n-2}{2} \binom{n-4}{2}$ ?? ¿Dónde está el $\frac{1}{6}$ ¿de dónde viene?

Answer 1

Las casillas no están marcadas, por lo que (12)(34)(56) es lo mismo que (34)(12)56). Por lo tanto, hay que dividir por $6=3!.$

Answer 2

${n \brace m}$ representa el número de maneras de dividir el conjunto $\{1,2,\cdots,n\}$ en $m$ subconjuntos.
Ahora hay que prestar atención al hecho de que el orden de los subconjuntos no cuenta, es decir, que los subconjuntos se ordenan a su vez en un conjunto.
Entonces, cuando tengas $2, 3, 4,\ldots $ subconjuntos con el mismo tamaño, hay que dividir por el factorial de su número. Lo mismo, si tienes $n_a$ subconjuntos con tamaño $a$ , $n_b$ con tamaño $b$ etc., lo dividirás entre $n_a! n_b! \ldots$ .

Así que el $6 = 3!$ proviene de la corrección al tener $3$ subconjuntos del mismo tamaño.