Ternas de Números

Question

Tengo una pregunta:

Cuántos triples $(a,b,c)$ están allí, que $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 1$$ and $a <b<c$? Ellos tienen que ser enteros positivos. También encontramos los triples.

Sé que todos ellos tienen que ser $\geq 2$. Tan sólo debo corregir un número y el recuento de las otras parejas?

Si elijo $a = 3$ y en el resto de los pares $(b,c)$? Si he de elegir un gran $a$, entonces parece que no hay triples va a satisfacer la condición, ya que la suma será demasiado pequeño.

Answer 1

Bien, $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < 1$, por lo que debemos tener $a=2$. Así que realmente sólo necesita $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$.

Desde $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} < \frac{1}{2}$, $b = 3$. Que deja a $c = 6$.

Creo que una buena manera de pensar acerca de esto es ver el número de $1$$\frac{1}{1}$. Podemos descomponer $\frac{1}{n}$ a $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n^2+n}$, luego descomponer uno de ellos para obtener una expresión para $\frac{1}{n}$ como la suma de tres armónica de los números. En este caso, podemos ver que $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.

Ver el Leibniz Armónico Triángulo.

Answer 2

SUGERENCIA $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \lt \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{un}, $$ lo que muestra que $a \leq \ldots$.¹

(Después de la fijación de $a$, se puede usar la misma idea de nuevo para completar la prueba.)

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¹EDIT: Corregido el primer signo de la desigualdad de$\gt$$\lt$.

Answer 3

Supongamos que una revisión, lo suficientemente pequeño para que existan soluciones. Luego tenemos algún tipo de ecuación de la forma $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = K$, o que $1 + \frac{b}{c} = bK \implies \frac{b}{c} - bK = b(\frac{1}{c} - K) = -1 \implies b = \dfrac{-1}{\frac{1}{c} - K}$

Es decir, que todavía hay infinitamente muchas soluciones para sólo 2 variables (bajo el supuesto de que $c \not = 0$$\frac{1}{c} - K \not = 0$. Tomo nota de que hay infinitamente porque estas soluciones caen dentro de un rango, y si el orden es al revés, a continuación, simplemente cambiar los roles de las variables. Así que no juega un gran papel.