Desenredando la notación
Dejemos que $W = V \times V$ con la adición definida por $(v_1,w_1) + (v_2,w_2) = (v_1+v_2,w_1+w_2)$ .
- Cada elemento de $W$ es un par de elementos de $V$ . Así que un elemento de $W$ parece $w = (v_,v_2)$ donde $v_1,v_2 \in V$ . Por encima, todos los $v_1,v_2,w_1,w_2$ están en $V$ . La adición es por componentes.
y la multiplicación escalar sea definida por $(a+bi)(v,w) = (av-bw,aw+bv)$ .
Aunque no se menciona, $W$ va a ser diseñado como un complejo espacio vectorial. Entonces, tenemos que explicar cómo multiplicamos un número complejo, que es $(a+bi)$ con algún elemento de $W$ , digamos que $(v,w)$ donde $v,w \in V$ . Por supuesto, hay que comprobar las propiedades habituales de la multiplicación para esto, pero no lo haré.
y producto interior $\langle \cdot,\cdot \rangle' : W \times W \to \mathbb C$ definido por : $$ \langle (v_1,w_1),(v_2,w_2)\rangle' = (\langle v_1,v_2\rangle + \langle w_1,w_2\rangle) + i(-\langle v_1,w_2\rangle + \langle w_1,v_2 \rangle) $$
Aquí, usted está definiendo un complejo producto interno en $W$ , tomando valores en $\mathbb C$ por lo que se especifican explícitamente las partes real e imaginaria del resultado. De nuevo, $v_1,v_2,w_1,w_2$ son vectores en $V$ y todos los términos del lado derecho implican el producto interno en $V$ .
Ahora, este es el punto: no hemos demostrado todavía que la función anterior es un producto interno, por lo que el autor llamándola producto interno es una "escritura incorrecta" (pero no una afirmación incorrecta), especialmente cuando quiere que demostremos primero que es definida positiva.
Resolver el problema
Así que tenemos el real espacio vectorial $V$ y tiene un producto interno $\langle \cdot , \cdot \rangle$ . Este producto interno no tiene nada que ver con el habitual $\mathbb R^n$ -producto interno, o el valor absoluto $|\cdot|$ Un producto interno es aquel que satisface la simetría (conjugada), la linealidad en el primer argumento y la definición positiva, y mientras se opera se deben asumir sólo estas tres propiedades y ninguna más.
Para la definición positiva, necesitamos demostrar exactamente esto: para cada $w \in W$ tenemos $\langle w,w\rangle' \geq 0$ (NOTA : Esto implica el hecho de que $\langle w,w\rangle'$ debe ser, de hecho, un número real porque no se define ningún orden en los números complejos , pero ya veremos que es el caso aquí), con igualdad exactamente cuando $w = 0$ .
Para ello, primero desde $w \in W$ lo escribiremos como $w=(w_1,w_2)$ donde $w_1,w_2 \in V$ . A continuación, utilizamos la fórmula para escribir $\langle w,w\rangle'$ : $$ \langle w,w\rangle' = \langle (w_1,w_2),(w_1,w_2)\rangle \\ = \langle w_1,w_1\rangle + \langle w_2,w_2\rangle - i\langle w_1,w_2\rangle + i\langle w_1,w_2\rangle \\ = \langle w_1,w_1 \rangle + \langle w_2,w_2\rangle $$
es, por tanto, un número real y puede compararse con $0$ .
Sin embargo, ahora las cosas son muy sencillas: porque el producto interior sobre $V$ es definida positiva, ciertamente la última línea es una suma de dos términos no negativos y por lo tanto es no negativa.
Además, si $\langle w,w\rangle' = 0$ entonces la última línea es cero, lo que por no negatividad obliga a cada una de $\langle w_1,w_1\rangle$ y $\langle w_2,w_2\rangle$ sea cero, lo que obliga a ambos $w_1=w_2=0$ porque el producto interior sobre $V$ es positiva definida. Por supuesto, entonces $w =(0,0)$ es el elemento cero de $W$ .
Así, demostramos que la definición positiva se mantiene.
Ya que he respondido a la pregunta, ahora deberías reforzar tu agarre demostrando que la función $\langle \cdot,\cdot\rangle'$ satisface todas las demás propiedades de un producto interior sobre $W$ también.
